ランダムウォーク
![]() | 吉住渉の漫画については「ランダム・ウォーク (漫画)」をご覧ください。 |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/8/8c/Random_walk_in2D.png/150px-Random_walk_in2D.png)
ランダムウォーク(英: random walk)は、次に現れる位置が確率的に無作為(ランダム)に決定される運動である。日本語の別名は酔歩(すいほ)、乱歩(らんぽ)である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。
ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス[1][2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。
数学的定義
を( 次元)ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。
特に、 が 値であり、かつ、
( は、第 成分が 1 の単位ベクトル)である時、Sn を( 次元)単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。
直接的一般化として、結晶格子(結晶構造の抽象化)上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている[3][4]。
例
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/db/Arcsin_density.svg/300px-Arcsin_density.svg.png)
コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。
数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右(正の方向)に進め、裏が出た場合に点を左(負の方向)に進める試行(1次元のランダムウォーク)を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。
しかし、点が正の領域にいる時間の割合の分布は、の確率密度を持つ(負の領域にいる時間の割合は)。これはおよびで無限大に発散するグラフである。
すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる[5][6]。
基本的性質
- 再帰性
- 1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。[7][8]
- Donsker の定理の系
- Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
- で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。
- Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
応用
- レビのダスト
- 宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
- 自己回避ランダムウォーク(英語版)[9]
- 軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造[10]、海岸線などのモデル(自己相似)として利用されている。
脚注
- ^ ウィーナー過程フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社
- ^ Log normal distributionニューメリカルテクノロジーズ株式会社
- ^ M. Kotani, T. Sunada (2003). “Spectral geometry of crystal lattices”. Contemporary. Math. 338: 271–305. doi:10.1090/conm/338/06077.
- ^ M. Kotani, T. Sunada (2006). “Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice”. Math. Z. 254: 837–870. doi:10.1007/s00209-006-0951-9.
- ^ ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―小杉のぶ子(東京海洋大学 海洋工学部)
- ^ “つき”の数理-逆正弦法則について[リンク切れ]大阪大学基礎工学研究科会田研究室
- ^ ランダムウォーク[リンク切れ]
- ^ 電気回路とランダム・ウォーク2002年3月17日 確率統計委員会・深川久(豊中高校)
- ^ 井上純一 (2004年). “確率モデルを用いたフラクタル図形の作成に関する実験手引書” (pdf). 北海道大学. p. 12. 2020年5月18日閲覧。
- ^ ランダムウォークと統計力学岡部豊[リンク切れ]