リーマン形式

数学において、アーベル多様体やモジュラー形式の理論におけるリーマン形式 (リーマンけいしき、Riemann form) とは、以下のデータからなる。

  • 複素ベクトル空間 Cg の格子 Λ {\displaystyle \Lambda }
  • Λ {\displaystyle \Lambda } から整数への交代的双線型形式 α {\displaystyle \alpha } であって、次のリーマンの双線型関係式(Riemann bilinear relations)を満たすもの。
  1. α {\displaystyle \alpha } の実線型拡大 α R : C g × C g → R {\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }\colon \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}\rightarrow \mathbb {R} } は、 C g × C g {\displaystyle \mathbb {C} ^{g}\times \mathbb {C} ^{g}} のすべての ( v , w ) {\displaystyle (v,w)} に対して、 α R ( i v , i w ) = α R ( v , w ) {\displaystyle \alpha _{\mathbb {R} }(iv,iw)=\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)} を満たす。
  2. 付随するエルミート形式 H ( v , w ) = α R ( i v , w ) + i α R ( v , w ) {\displaystyle H(v,w)=\alpha _{\mathbb {R} }(iv,w)+i\alpha _{\mathbb {R} }(v,w)} は正定値である。

（ここに記述したエルミート形式は、第一変数について線型である。）

リーマン形式は、次の理由により重要である。

  • 任意の保型因子のチャーン類の交代化（英語版）(alternatization)はリーマン形式である。
  • 逆に、任意のリーマン形式が与えられると、保型因子であって、そのチャーン類の交代化が与えられたリーマン形式であるようなものを構成できる。

参考文献

  • Milne, James (1998), Abelian Varieties, http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/av.html 2008年1月15日閲覧。 
  • Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry, An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 201, New York, ISBN 0-387-98981-1, MR1745599 
  • Mumford, David (1970), Abelian Varieties, Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics, 5, London: Oxford University Press, MR0282985 
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Abelian function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Abelian_function 
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Theta-function”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Theta-function