ルベーグの分解定理

数学の測度論の分野における ルベーグの分解定理（ルベーグのぶんかいていり、英: Lebesgue's decomposition theorem）[1][2][3]とは、ある可測空間 ( Ω , Σ ) {\displaystyle (\Omega ,\Sigma )} 上のすべての二つのσ-有限（英語版）な符号付測度 μ {\displaystyle \mu } および ν {\displaystyle \nu } に対して、次を満たすような二つの σ-有限な符号付測度 ν 0 {\displaystyle \nu _{0}} および ν 1 {\displaystyle \nu _{1}} が存在することを述べた定理である。

  • ν = ν 0 + ν 1 {\displaystyle \nu =\nu _{0}+\nu _{1}\,}
  • ν 0 ≪ μ {\displaystyle \nu _{0}\ll \mu } （すなわち、 ν 0 {\displaystyle \nu _{0}} は μ {\displaystyle \mu } に関して絶対連続）
  • ν 1 ⊥ μ {\displaystyle \nu _{1}\perp \mu } （すなわち、 ν 1 {\displaystyle \nu _{1}} と μ {\displaystyle \mu } は特異的）

これら二つの測度は、 μ {\displaystyle \mu } および ν {\displaystyle \nu } によって一意的に定められる。

改良

ルベーグの分解定理を改良する方法は多く存在する。

はじめに、実数直線上のある正則なボレル測度の特異部の分解は、次のように改良できる[4]。

ν = ν c o n t + ν s i n g + ν p p {\displaystyle \,\nu =\nu _{\mathrm {cont} }+\nu _{\mathrm {sing} }+\nu _{\mathrm {pp} }}

但し

  • νcont は絶対連続（absolutely continuous）な部分
  • νsing は特異連続（singular continuous）な部分
  • νpp は純点（pure point）の部分（離散測度）

つづいて、絶対連続測度はラドン＝ニコディムの定理によって分類され、離散測度は簡単に理解することが出来る。したがって（特異連続測度はさておき）ルベーグの分解は測度の非常に明解な記述を提供するものとなる。カントール測度（実数直線上の確率測度で累積分布関数がカントール関数であるようなもの）は特異連続測度の一例である。

関連する概念

レヴィ＝伊藤分解

詳細は「レヴィ＝伊藤分解」を参照

確率過程に対する同様な分解に、次のようなレヴィ＝伊藤分解がある。あるレヴィ過程（英語版） X が与えられたとき、それは次のような三つの独立なレヴィ過程の和 X = X ( 1 ) + X ( 2 ) + X ( 3 ) {\displaystyle X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)}} に分解される。

  • X ( 1 ) {\displaystyle X^{(1)}} はドリフトを伴うブラウン運動で、絶対連続な部分に対応する；
  • X ( 2 ) {\displaystyle X^{(2)}} は複合ポアソン過程（英語版）で、純点の部分に対応する；
  • X ( 3 ) {\displaystyle X^{(3)}} は自乗可積分な pure-jump マルチンゲールで、有限区間においてほとんど確実に可算個の jumps を持つようなものであり、特異連続な部分に対応する。

関連項目

引用

  1. ^ (Halmos 1974, Section 32, Theorem C)
  2. ^ (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.42) Lebesque Decomposition Theorem)
  3. ^ (Rudin 1974, Section 6.9, The Theorem of Lebesgue-Radon-Nikodym)
  4. ^ (Hewitt & Stromberg 1965, Chapter V, § 19, (19.61) Theorem)

参考文献

  • Halmos, Paul R. (1974) [1950], Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics, 18, New York, Heidelberg, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90088-9, MR0033869, Zbl 0283.28001 
  • Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and Abstract Analysis. A Modern Treatment of the Theory of Functions of a Real Variable, Graduate Texts in Mathematics, 25, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90138-1, MR0188387, Zbl 0137.03202 
  • Rudin, Walter (1974), Real and Complex Analysis, McGraw-Hill Series in Higher Mathematics (2nd ed.), New York, Düsseldorf, Johannesburg: McGraw-Hill Book Comp., ISBN 0-07-054233-3, MR0344043, Zbl 0278.26001 

この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Lebesgue decomposition theoremの本文を含む