冪零群

群論における冪零群（べきれいぐん、英: nilpotent group）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらに超可解（英語版）でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者セルゲイ・チェルニコフ（英語版）の業績に帰せられる^[1]。

冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。

定義

「群の中心」および「交換子部分群」も参照

考えている群が冪零であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う:

有限の長さの中心列（英語版）を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列 $\{1\}=G_{0}\triangleleft G_{1}\triangleleft \dots \triangleleft G_{n}=G$ であって、G_i+1/G_i ≤ Z(G/G_i) あるいは同じことだが [G, G_i+1] ≤ G_i となるものである。
降中心列（英語版）が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、G₀ ≔ G および G_i+1 ≔ [G_i, G] によって定まる正規部分群の系列で $G=G_{0}\triangleright G_{1}\triangleright \dots \triangleright G_{n}=\{1\}$ とできる。
昇中心列（英語版）が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、Z₀ ≔ {1} および Z_i+1 は Z_i+1/Z_i = Z(G/Z_i) なる G の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列で $\{1\}=Z_{0}\triangleleft Z_{1}\triangleleft \dots \triangleleft Z_{n}=G$ とできる。

冪零群 G に対して、G が長さ n の中心列を持つとき（定義により、長さ n を持つとは中心列に自明群と G 自身を含めて n + 1 個の部分群が並ぶときに言う）、そのような n の最小値を G の冪零度 (nilpotency class; 冪零性の等級) と呼び、また G は冪零度 n の冪零群であるという。G の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。^{[注釈 1]}

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 1 の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる^[2]^[3]

例

既に述べたように、任意のアーベル群は冪零である^[2]^[4]。
小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル p-群である四元数群 Q₈ を挙げることができる。その中心は位数 2 の {1, −1} であり、昇中心列 {1}, {1, −1}, Q₈ が得られるから、これは冪零度 2 の例ということになる。
実は任意の有限 p-群が冪零である。位数 pⁿ の p-群に対し、最大の冪零度は n - 1 である。冪零度最大の 2-群は、四元数群、二面体群あるいは半二面体群（英語版）の一般化と考えられる。
二つの冪零群の直積はまた冪零である^[5]。
逆に、任意の有限冪零群は p-群の直積になる^[6]。
ハイゼンベルク群は非アーベル^[7]無限冪零群の例である^[8]。
任意の体 F 上の n-次冪単行列（英語版）（単上三角行列）全体の成す乗法群は、冪零度 n − 1 の冪零（代数）群（英語版）である。
F 上の n-次正則上三角行列全体の成す乗法群は一般には冪零群でない（が、可解群ではある）。

用語の説明

冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が冪零となることによる。つまり、冪零度 n の冪零群に対して、その元 g の定める作用 $\operatorname {ad} _{g}\colon G\to G;\;x\mapsto \operatorname {ad} _{g}(x):=[g,x]$ が g, x に依らずn 回反復合成で自明となる（ここで、[g, x] ≔ g⁻¹x⁻¹gx は g, x の交換子である）。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、（既にみたように冪零度 n の）随伴作用素 ad_g 全体の成す群は n-次エンゲル群（英語版）^{[注釈 2]}と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され、有限生成ならば冪零であろうと予想されている。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（1-次エンゲル群）になっている。

性質

昇中心列の連続する部分群による各剰余群 Z_i+1/Z_i はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ可解群である。

冪零度 n の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 n である^[9]。加えて、f が冪零度 n の冪零群上の準同型ならば、f の像は冪零度高々 n の冪零群になる^[9]。

有限群に対して以下は同値^[10]であり、冪零性の有効性が顕わになる:

(a) G は冪零群である。
(b) 正規化性質: H が G の真の部分群ならば、H は（H の G における）正規化群 N_G の真の正規部分群になる。
(c) G の任意のシロー部分群は正規部分群である。
(d) G はそのシロー部分群の直積である。

証明

(a) → (b)

G がアーベル群ならば、任意の H に対して N_G(H) = G であるからよい。そうでないとき、中心 Z(G) が H を含まないならば、h_Z⋅H −1
Z h⁻¹ = hHh⁻¹ = H であるから、H·Z(G) は H を正規化する。

以下、それ以外のときについて G の位数 |G| に関する帰納法で示す。Z(G) が H を含むならば H/Z(G) は G/Z(G) に含まれる。G/Z(G) が冪零であることに注意せよ。したがって、帰納法の仮定により、G/Z(G) の部分群で H/Z(G) の正規化群であるものが存在し、H/Z(G) はその真の部分群となる。それにより、その部分群を G の部分群に引き戻せば、それは H を正規化する^{[注釈 3]}。

(b) → (c)

G の任意のシロー部分群を P とし、N = N_G(P) と置く。P は N の正規部分群であるから、P は N の特性部分群 char N である。P = char N かつ N は N_G(N) の正規部分群であるから、P は N_G(N) の正規部分群となる。これは N_G(N) が N の部分群であることを意味するから、N_G(N) = N であり、(b) により N = G でなければならず、それは (c) ということである。

(c) → (d)

G の位数を割り切る相異なる素数を p₁, p₂, …, p_s とし、部分群 P_i はそれぞれシロー p_i-部分群に含まれるとする。任意の t に対し、帰納的に P₁⋅P₂ ⋯ P_t が P₁ × P₂ × ⋯ × P_t に同型であることが示せる。実際、まず各 P_i が G の正規部分群であるという仮定に注意すれば、積集合 P₁⋅P₂ ⋯ P_t は G の部分群である。H ≔ P₁⋅P₂ ⋯ P_t−1 および K ≔ P_t とすれば、帰納法の仮定により H は直積群 P₁ × P₂ × ⋯ × P_t−1 に同型で、特に |H| = |P₁|⋅|P₂| ⋯ |P_t−1| が成り立つ。|K| = |P_t| であったから、H, K の位数は互いに素であり、ラグランジュの定理によって H, K の交わりは自明群 {1}、したがって HK ≅ H × K だが、これは作り方から P₁⋅P₂ ⋯ P_t = HK ≅ H × K = P₁ × P₂ × ⋯ × P_t であり、帰納法は完成する。t = s と取って (d) を得る。

(d) → (a)

Z(P₁ × P₂ × ⋯ × P_s) が Z(P₁) × ⋯ × Z(P_s) に同型、したがって G/Z(G) = (P₁/Z(P₁)) × ⋯ × (P_s/Z(P_s)) となることを見るのは易しい。ゆえに (d) の仮定は G/Z(G) についても成り立つ。P_i ≠ 1 ならば Z(P_i) ≠ 1 であるから、G ≠ 1 ならば |G/Z(G)| は |G| より小さく、帰納法の仮定により G/Z(G) は冪零、したがって G は冪零となる。

最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:

命題: G が冪零群ならば、G の任意のシロー p-部分群 G_p は正規であり、それらシロー部分群の直積は G における位数有限な元全体の成す部分群に一致する。

冪零群の性質の多くは超中心群（英語版）と共通している。

注

注釈

^ 冪零度高々 m の冪零群を、nil-m group（m-乗零群）と呼ぶこともある
^ この呼び名に関して、冪零リー環の表現に関するエンゲルの定理を想起せよ
^ これは p-群に対するのと同じ論法—単に G と G/Z(G) がともに冪零となるという事実だけあればよい—ゆえ、詳細は省略する

出典

^ Dixon, M. R.; Kirichenko, V. V.; Kurdachenko, L. A.; Otal, J.; Semko, N. N.; Shemetkov, L. A.; Subbotin, I. Ya. (2012). “S. N. Chernikov and the development of infinite group theory”. Algebra and Discrete Mathematics 13 (2): 169–208.
^ ^a ^b Suprunenko 1976, p. 205.
^ Tabachnikova & Smith 2000, p. 169.
^ Hungerford 1974, p. 100.
^ Zassenhaus 1999, p. 143.
^ Zassenhaus 1999, p. 143, Theorem 11.
^ von Haeseler 2002, p. 15.
^ Palmer 1994, p. 1283.
^ ^a ^b Bechtell 1971, p. 51, Theorem 5.1.3.
^ Isaacs 2008, Thm. 1.26.

参考文献

Bechtell, Homer (1971). The theory of groups. Addison-Wesley
Hungerford, Thomas Gordon (1974). Algebra. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90518-9. https://books.google.co.jp/books?id=t6N_tOQhafoC
Isaacs, I. Martin (2008). Finite group theory. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-4344-3
Palmer, Theodore W. (1994). Banach algebras and the general theory of *-algebras. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-36638-0. https://books.google.co.jp/books?id=zn-iZNNTb-AC
Suprunenko, D. A. (1976). Matrix Groups. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1341-2. https://books.google.co.jp/books?id=cTtuPOj5h10C
Tabachnikova, Olga; Smith, Geoff (2000). Topics in Group Theory. Springer Undergraduate Mathematics Series. Berlin: Springer. ISBN 1-85233-235-2. https://books.google.co.jp/books?id=DD0TW28WjfQC
von Haeseler, Friedrich (2002). Automatic Sequences. De Gruyter Expositions in Mathematics. 36. Berlin: Walter de Gruyter. ISBN 3-11-015629-6. https://books.google.co.jp/books?id=wmh7tc6uGosC
Zassenhaus, Hans (1999). The theory of groups. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-40922-8. https://books.google.co.jp/books?id=eCBK6tj7_vAC

外部リンク

Renze, John. "Nilpotent Group". mathworld.wolfram.com (英語).
nilpotent group in nLab
nilpotent group - PlanetMath.（英語）
Shmel'kin, A.L. (2001), “Nilpotent group”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Nilpotent_group