単射的対象
数学,特に圏論において,単射的対象(たんしゃてきたいしょう,英: injective object, あるいは移入的対象,入射的対象)の概念は単射的加群の概念の一般化である.この概念はホモトピー論とモデル圏の理論において重要である.双対概念は射影的対象である.
定義
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/48/Injektivesobjekt.png)
を圏とし を の射のあるクラスとする.
の対象 Q が -単射的とは, の任意の射 f: A → Q と任意の射 h: A → B に対して,ある射 g: B → Q が存在して f (の始域)を拡張する,すなわち となることをいう.
上の定義における射 g は h と f によって一意的に決定されることは要求されない.
局所的に小さい圏では,それはhom関手 が -射を全射に送ることと同値である.
の古典的な選択は単射全体のクラスであり,この場合,単射的対象という表現が使われる.
アーベル圏の場合
アーベル圏の場合が単射性の概念のもともとの枠組みであった(そして今でも最も重要なものである). がアーベル圏のとき, の対象 A が単射的であるとは,hom関手 HomC(–,A) が完全であることをいう.
を における完全列であって A が単射的対象であるものとする.すると列は分裂し,B が単射的であることと C が単射的であることは同値である[1].
充分単射的対象をもつ
を圏とし,H を の射のあるクラスとする;圏 が充分 H 単射的対象をもつ (have enough H injectives) とは, のすべての対象 X に対して,X からある H-単射的対象へのある H 射が存在することをいう.
単射的包絡
における H 射 g が H 本質的 (H-essential) であるとは,任意の射 f に対して,合成 fg が H に属するのは f が H に属するときに限ることをいう.H が単射全体のクラスであるとき,g は本質的単射(英語版)と呼ばれる.
f が H 本質的 H 射であって,始域が X, 余域が H 単射的な G であるとき,G は X の H 単射的包絡 (H-injective hull) と呼ばれる.するとこの H 単射的包絡は,標準的でない同型の違いを除いて一意的である.
例
- アーベル群と群準同型の圏において,単射的対象は可除群である.
- 加群と加群準同型の圏 R-Mod において,単射的対象は単射的加群である.R-Mod は単射的包絡をもつ(したがって R-Mod は充分単射的対象をもつ).
- 距離空間とnonexpansive mapping(英語版)の圏 Met において,単射的対象は超凸距離空間(英語版)であり,距離空間の単射的包絡はその超凸包(英語版)である.
- T0 空間と連続写像の圏において,単射的対象は必ず連続束上のスコット位相であり,したがってそれは必ずsober(英語版)かつ局所コンパクトである.
- 単体的集合(英語版)の圏において,anodyne extensions のクラスに関する単射的対象はカン複体(英語版)である.
- 半順序集合と単調写像の圏において,完備束は順序埋め込み(英語版)に対する単射的対象をなし,半順序集合の Dedekind–MacNeille 完備化(英語版)はその単射的包絡である.
- より一般の圏,例えば関手圏や,環付き空間 (X, OX) 上の OX 加群の層の圏においても単射的対象を考えることができる.
関連項目
脚注
- ^ 証明:列は分裂するから B は A と C の直和である.
参考文献
- J. Rosicky, Injectivity and accessible categories
- F. Cagliari and S. Montovani, T0-reflection and injective hulls of fibre spaces