合同辺平行線点

幾何学において、合同辺平行線点（ごうどうへんへいこうせんてん[1]、英:equal parallelians point,congruent parallelians point）は三角形の中心の一つである[2][3]。Encyclopedia of Triangle Centersでは X(192) として登録されている[4] 。1961年にピーター・イフのノートで言及された。

定義

  基準三角形△ABC
  △ABCのそれぞれの辺に平行で、長さの等しい線分

△ABCのそれぞれの辺に平行で、長さが等しく、さらに一点で交わる線分はただ一組存在する[5]。この点を合同辺平行線点という[2]。これら線分の長さは 2 a b c a b + b c + c a {\displaystyle {\frac {2abc}{ab+bc+ca}}} である[3]。

重心座標

合同辺平行線点の重心座標は以下の式で与えられる。ただしa,b,cは三角形の辺長である。

c a + a b − b c   :   a b + b c − c a   :   b c + c a − a b {\displaystyle ca+ab-bc\ :\ ab+bc-ca\ :\ bc+ca-ab}

合同辺平行線点の作図

合同辺平行線点の作図
  基準三角形 △ABC
  △ABC の内角の二等分線(対辺とA", B", C"で交わるとする)
  △ABCの反中点三角形 △A'B'C'
  合同辺平行線点を通る線分A'A", B'B", C'C")

△A'B'C' を△ABCの反中点三角形とする。さらにA, B, C の内角の二等分線と対辺の交点をA", B", C"とすると、A'A", B'B", C'C"は合同辺平行線点で交わる[3]。

性質

関連

出典

  1. ^ “三角形の心”. taurus.ics.nara-wu.ac.jp. 2024年6月1日閲覧。
  2. ^ a b Kimberling. “Equal Parallelians Point”. 16 May 2012時点のオリジナルよりアーカイブ。12 June 2012閲覧。
  3. ^ a b c Weisstein. “Equal Parallelians Point”. MathWorld--A Wolfram Web Resource. 12 June 2012閲覧。
  4. ^ Kimberling. “Encyclopedia of Triangle Centers”. 19 April 2012時点のオリジナルよりアーカイブ。12 June 2012閲覧。
  5. ^ Sabrina Bier (2001). “Equilateral Triangles Intercepted by Oriented Parallelians”. Forum Geometricorum (Vol 1): 25-32. https://forumgeom.fau.edu/FG2001volume1/FG200105.pdf.