命題関数

命題関数（めいだいかんすう、英：Propositional function）とは、数理論理学において、各変数の変域と終集合とがそれぞれ「真な命題」と「偽な命題」のみから成る、集合に等しいような写像である。命題関数は真理関数でもある。

定義

命題関数を定義する為に次の 2 つの記号を用いる。

真な命題を表す記号： $\curlyvee$
偽な命題を表す記号： $\curlywedge$

L₀ を $\curlyvee$ と $\curlywedge$ とだけから成る集合とし、D を固定された空でない 1 つの集合とする。そのとき、n 個の D の直積 $\prod _{i=1}^{n}D$ から L₀ への写像を n 変数の命題関数という。命題関数をまた述語、性質、条件ともいう。n 変数の命題関数をまた n 項関係ともいう。集合 D を議論領域といい、D の各元を対象という。

例

議論領域 D は自然数全体から成る集合に等しいとする。また、集合 L₀ において、真理関数￢、∨ が定義されているとする。

D から L₀ への写像 F を次の等式で定義すれば、F は 1 変数の命題関数となる。

F(n)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is prime}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

D×D から L₀ への写像 G を次の等式で定義すれば、G は 2 変数の命題関数となる。

G(n,m)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is less than }}m\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

2 項関係 R(n，m) をしばしば nRm と書く。従って、上の G(n，m) を nGm と書いても良い。

D×D の各元 (n，m) に対して L₀ の元 (￢G(n，m))∨G(n，m) を対応させれば、2 変数の 1 つの命題関数が得られる。

限定作用素

F(x) を 1 変数の命題関数とするとき、命題 ∀xF(x) と ∃xF(x) とは以下の等式で定義される。

\forall xF(x)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}F(x)=\curlyvee {\mbox{ is an identity}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

\exists xF(x)={\begin{cases}\curlywedge &{\mbox{if }}F(x)=\curlywedge {\mbox{ is an identity}}\\\curlyvee &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

∀x 、∃x をそれぞれ全称作用素、存在作用素といい、それらをまとめて限定作用素という。∀、∃ をそれぞれ全称記号、存在記号という。命題 ∀xF(x) は「全ての対象 x に対して F(x) が成り立つ」を意味し、命題 ∃xF(x) は「 F(x) を満たす対象 x が ( 少なくとも 1 つ ) 存在する」を意味する。

例

議論領域 D は整数全体から成る集合に等しいとする。

1 変数の命題関数 F(n) を次の等式で定義する。

F(n)={\begin{cases}\curlyvee &{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\\\curlywedge &{\mbox{otherwise}}\end{cases}}

F(1) = $\curlyvee$ は正しくないので、F(n) = $\curlyvee$ は恒等式でない。よって、∀nF(n) = $\curlywedge$ である。また、F(2) = $\curlywedge$ は正しくないので、F(n) = $\curlywedge$ は恒等式でない。よって、∃nF(n) = $\curlyvee$ である。