数学の複素解析の分野における一般差分多項式列(いっぱんさぶんたこうしきれつ、英: general difference polynomials)とは、シェファー多項式列のある特別な部分クラスに属する多項式列であり、ニュートン多項式列、セルバーグ多項式列 (Selberg's polynomials) およびスターリング補間多項式列 (Stirling interpolation polynomials) を特殊な場合として含むものである。
定義
適当な定数 β に対して、一般差分多項式列は
![{\displaystyle p_{n}(z)={\frac {z}{n}}{{z-\beta n-1} \choose {n-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b69134419527b2b9479753b34dd0bcd4ff6abf1)
で与えられる。ここで
は二項係数である。
- β = 0 のとき、生成される pn(z) は、ニュートン多項式列
![{\displaystyle p_{n}(z)={z \choose n}={\frac {z(z-1)\cdots (z-n+1)}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0cb5a2d0491adaaa6292dfd7b77b8df10636e27)
- である。
- β = 1 のとき、セルバーグ多項式列が生成される。
- β = −1⁄2 のとき、スターリング補間多項式列が生成される。
移動差分
解析関数
に対し、その移動差分 (moving difference) を
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}(f)=\Delta ^{n}f(\beta n)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1348a509ecf47919df20b8400560d714bf3171a5)
で定める。ここで
は前進差分作用素である。このとき、f がある特別な総和可能性 (summability) についての条件を満たすなら、それは次のような多項式表現を許す。
![{\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z){\mathcal {L}}_{n}(f).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44843b98268e6bdb1e964120da7cf50a833674cc)
この列の総和可能性(すなわち、収束)に関する条件は、複雑な問題である。一般に、その必要条件は解析関数が指数型(英語版)よりも小さいことであるとされる。総和可能性の条件については、Boas & Buck (1964) において詳細に議論されている。
母関数
一般差分多項式に対する母関数は、次で与えられる。
![{\displaystyle e^{zt}=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)\left[\left(e^{t}-1\right)e^{\beta t}\right]^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4001edfe9755fd41b30e8a2cf44a178d4820e475)
この母関数には、次のような一般化アペル表現が存在する。
![{\displaystyle K(z,w)=A(w)\Psi (zg(w))=\sum _{n=0}^{\infty }p_{n}(z)w^{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5fe05a5d5c1f7fdf51212e31be53bddbb35ea39)
ここで
、
、
および
とされる。
関連項目
参考文献
- Ralph P. Boas, Jr. and R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected), (1964) Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263.