線形力学系(せんけいりきがくけい、英: linear dynamical system)とは、行列で定義され、線形性を持つ力学系である。
定義
一般に Rn における線形力学系は、ベクトル値関数 x(t) ∈ Rn と、n 次の正方行列 A により、次のような微分方程式で表される。
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)=A\mathbf {x} (t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc9c30ac2cd7243f7d0dfef19183a2b1c5c0a997)
ただしこれは、x が連続的に変化する場合であり、離散系の場合には、
![{\displaystyle \mathbf {x} _{m+1}=A\mathbf {x} _{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c94867673b0052003cd3ec595e93df79dbef56)
で表される。
これが線形であるとは、x(t) と y(t) が解ならば、任意のスカラー a, b について、線形結合 ax(t) + by(t) も解である、ということを意味している。
線形力学系は、多くの非線形の場合と異なり、完全に解くことができる。このとき、解は行列の指数 etA(連続系)、もしくは累乗 An(離散系)によって表現され、その振る舞いは一般的に行列 A の固有値、固有ベクトルによって理解できる。 非線形のときでも、変数変換により線型化して解くことができることもある。また、不動点の周りでの線形近似は、非線形系を理解するのに役立つ(ハートマン=グロブマンの定理)。
線形力学系の解
初期値 x(0) = x0 が、行列 A の固有ベクトル vk ならば、初期条件は
![{\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbf {x} (t)\right|_{t=0}=A\mathbf {v} _{k}=\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e5e11743aa56f2249b336aa1342f442ffb20abf)
となる。ただし、λk は、固有ベクトル vk に対応する固有値である。このとき、解は、
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\mathbf {v} _{k}\mathrm {e} ^{\lambda _{k}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d209b06d241b58849e4c212e8125787b51a46f1)
となる。
もし A が対角化可能ならば、任意の初期値 x0 は、固有ベクトルの線形結合で一意に表される。つまり、次のような係数 ak が一意に存在する。
![{\displaystyle \mathbf {x} _{0}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/709d999ce0d8c9004e5686ebaae52547e54389fa)
このとき解は、
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mathbf {v} _{k}e^{\lambda _{k}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7688db01a310d2ba24e4e83c4355d56014eab635)
となる。
対角化不可能な場合でも一般に行列の指数関数を用いて
![{\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{tA}\mathbf {x} _{0}\quad {\biggl (}e^{tA}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}A^{n}{\biggr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1f4e99cdeabe5d8124be9858363e2e18d55ec2)
と、解を導くことができる。
二次元の場合
二次元の線形力学系は、
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}x\\y\\\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d777b11a8f9a1f4ad26fb61ea5c32e77fd91d7c6)
で表される。この系では、A は 2 次正方行列である。A の固有値は、行列式 Δ と、トレース τ を用いて、
![{\displaystyle \lambda _{1}={\frac {\tau +{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66817582415854852a191515ab54ead4b5fd5860)
![{\displaystyle \lambda _{2}={\frac {\tau -{\sqrt {\tau ^{2}-4\Delta }}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed487e78a31c439334f17c52c5c3df787287160e)
のように書くことができる。
また、
であり、
である。
もし、
ならば、固有値の符号が異なり原点は、鞍点 (saddle point) となる。
ならば、原点は孤立した平衡点ではない。
ならば、固有値の符号が同じになり、
ならば(漸近)安定、
ならば中立安定、
ならば不安定になる。また固有値が実数ならば節点 (node) となる。ただし、二つの固有値が同じときには対角化可能なときスター、不可能なとき退化節点 (degenerate node) となる。最後に複素数のときは、渦状点 (spiral) となる。
参考文献
- Hirsch, Morris W.; Smale, Stephen (1974). Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press. MR0486784. Zbl 0309.34001. https://books.google.co.jp/books?id=UG4Rh4OG-hUC
- スメール, S.、ハーシュ, M. W.『力学系入門』田村一郎、水谷忠良、新井紀久子(翻訳)、岩波書店、1976年。ISBN 978-4-00-006130-8。
関連項目