超幾何関数(ちょうきかかんすう、英: hypergeometric function)は以下の超幾何級数で定義される特殊関数である。
ただし、(x)n はポッホハマー記号で表した昇冪 (x)0 = 1、(x)n = x (x+1) (x+2)…(x+n−1) である。
概要
超幾何関数は多くの初等関数や特殊関数を包含する。
対数関数、逆三角関数
完全楕円積分
オイラー積分表示
ガウスの超幾何関数はオイラー積分で表される[1][2]。
これは
として導かれる。
超幾何定理
ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示にを代入するとガウスの超幾何定理を得る[2][3]。
となる。更にを代入するとヴァンデルモンドの恒等式(英語版)を得る[4]。
超幾何微分方程式
脚注
- ^ 原岡喜重. (2002). 超幾何関数. 朝倉書店.
- ^ a b 時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. 共立出版.
- ^ Weisstein, Eric W. "Gauss's Hypergeometric Theorem". mathworld.wolfram.com (英語).
- ^ Weisstein, Eric W. "Chu-Vandermonde Identity". mathworld.wolfram.com (英語).
参考文献
- 西本敏彦『超幾何・合流型超幾何微分方程式』共立出版、1998年11月。ISBN 978-4-320-01593-7。
- 福原満洲雄『常微分方程式』(第2版)岩波書店〈岩波全書 116〉、1980年5月23日。ISBN 978-4-00-021234-2。
関連項目
外部リンク
- 『超幾何級数の定義と例』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Hypergeometric Function". mathworld.wolfram.com (英語).
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等比数列 | 収束級数 | - 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
- 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
- 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
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