鎖状環

数学の鎖状環（さじょうかん、英: catenary ring）とは、可換環 R であって、その素イデアルの任意の組 p ⊂ q を結ぶ真に増大する素イデアルの極大鎖

p = p₀ ⊊ p₁ ... ⊊ p_n = q

が全て同じ有限の長さを持つもののことをいう^[1][2]。鎖の長さ n を幾何学的にいうと、素イデアルに対応する代数多様体の次元（英語版）は素イデアルが大きくなると減少するので、これは次元の差である。

環が強鎖状環（きょうさじょうかん、英: universally catenary ring）であるとは、その環上の有限生成な環が全て鎖状環であることをいう。

"catenary" という言葉は鎖（chain）を意味するラテン語の catena から来ている。

ネーター局所環については次の包含関係が成り立つ。

強鎖状環 ⊃ コーエン・マコーレー環 ⊃ ゴレンシュタイン環 ⊃ 完全交叉環 ⊃ 正則局所環

A をネーター整域、B を A 上有限生成な整域とする。P を B の素イデアル、p をこれと A の共通部分とするとき、

${\displaystyle {\text{height}}(P)\leq {\text{height}}(p)+{\text{tr.deg.}}_{A}(B)-{\text{tr.deg.}}_{\kappa (p)}(\kappa (P))}$

が成り立つ^[3]。A が強鎖状環であれば等式が成り立ち、これを強鎖状環の次元公式という。

ここで、κ(P) は P の剰余体で、tr.deg. は（商体の）超越次数である。

なお、A が強鎖状ではなくとも、${\displaystyle B=A[x_{1},\dots ,x_{n}]}$ であれば、等式はやはり成り立つ^[4]。

代数幾何学に現れるほとんどすべてのネーター環は強鎖状である。例えば次の環は全て強鎖状である。

• 完備ネーター局所環

• デデキント環、体

• コーエン・マコーレー環、正則局所環

• 強鎖状環を局所化した環

• 強鎖状環上有限生成の環

強鎖状ではないネーター環の例を作るのは簡単ではない。最初の例は永田雅宜が見つけた、鎖状だが強鎖状ではない2次元ネーター局所整域である^[5]。

永田の例は次のようなものである。k を体、S を k 上の形式的ベキ級数環とし、その不定元を x とする。形式的ベキ級数 z = Σ_{i > 0} a_i xⁱ を z と x が代数的独立になるものとする。

z₁ = z, z_i+1 = z_i / x – a_i と置く。

R を x と全ての z_i で生成される（非ネーター）環とする。

m をイデアル (x)、n を x – 1 と全ての z_i で生成されるイデアルとする。どちらも R の極大イデアルで、剰余体は k と同型である。局所環 R_m は1次元の正則局所環で、局所環 R_n は2次元のネーター正則局所環である（このことの証明には z と x が代数的独立であることを使う）。

B を m か n に入らない要素全体についての R の局所化とする。B は、2つの極大イデアル mB（高さ1）と nB（高さ2）を持つ2次元のネーター半局所環になる。

I を B のジャコブソン根基とし、A = k + I と置く。環 A は、I を極大イデアルとする2次元の局所整域になっていて、2次元の局所整域は全て鎖状なので、鎖状である。環 A は、B がネーターかつ有限 A 加群なので、ネーターである^[6]。しかし A は強鎖状ではない。もし強鎖状であれば、強鎖状環についての次元公式から B のイデアル mB は mB ∩ A と同じ高さを持つはずであるが、後者のイデアルの高さは dim(A) = 2 と等しいからである。

永田の例は準優秀環にもなっているので、優秀環ではない準優秀環の例にもなっている。

• 形式的鎖状環（英語版）（実は強鎖状環と同じ）

• H. Matsumura, Commutative algebra 1980 ISBN 0-8053-7026-9.
• Nagata, Masayoshi (1956), “On the chain problem of prime ideals”, Nagoya Math. J. 10: 51–64, MR0078974, http://projecteuclid.org/euclid.nmj/1118799769 
• Nagata, Masayoshi (1975) [1962]. Local rings. R. E. Krieger Pub. Co. ISBN 0-88275-228-6. https://archive.org/details/masayoshi-nagata-local-rings-reprint-r.-e.-krieger-pub.-co 
• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1964). “Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie”. Publications Mathématiques de l'IHÉS 20: 5–259. MR0173675. http://www.numdam.org:80/numdam-bin/feuilleter?id=PMIHES_1964__20_. 

• The Stacks Project Authors, The Stacks Project, http://stacks.math.columbia.edu/