2 の立方根(にのりっぽうこん)は、立方(3乗)して 2 になる数である。すなわち、
![{\displaystyle r^{3}=r\times r\times r=2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e8e537602761ae60a7baf7120adc9ae180c218)
を満たす数 r のことである。 2 の立方根に関する作図問題としては、立方体倍積問題が古代から知られている。
概要
2 の立方根は複素数の範囲に 3 つあり、そのうち 1 つは実数である。実数の立方根を
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ca071ab504481c2bb76081aacb03f5519930710)
と書き、虚数の立方根は
, ![{\displaystyle {\frac {-1-{\sqrt {3}}\,i}{2}}{\sqrt[{3}]{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7781bd19ba3d40d4fc4c5ac5f7a62ad0ae4ef563)
と書き表すことができる。
が無理数であることは、2の平方根の場合と同様、有理根定理、背理法(無限降下法)、または素因数分解の一意性を利用して証明することができる。
オンライン整数列大辞典では
の十進記数法における小数点以下 107 桁まで表示されている[1]。
1.2599210498 9487316476 7210607278 2283505702 5146470150 …
この数の並びには無限回の循環はない。このことは、
が無理数であることによる[注釈 1]。
性質
は代数方程式 r 3 − 2 = 0 の根の 1 つであるから、代数的数である。
は定規とコンパスによる作図で示すことが不可能な数である。この事実は、1837年に、ピエール・ヴァンツェルにより証明された。
の連分数展開は
![{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7d80b47453403294fa59748e0ae8c74788681c8)
となる。これはしばしば [1; 3, 1, 5, 1, 1, 4,...] と表記される。連分数展開を途中で打ち切ることで、
の近似値を計算することができる。
脚注
出典
- ^ オンライン整数列大辞典の数列 A002580 2018年2月11日閲覧
注釈
- ^ 逆に、循環小数として表現できるような数は全て有理数である(無理数ではない)。有理数とは、整数の比によって表すことのできる数のことを言う。
関連項目