共鳴波長の光に応答する原子の2準位系は2状態系の例である。 量子力学 において、2状態系 (2じょうたいけい、英 : two-state system )とは、2つの独立 な量子状態 から構成される量子系である。自明ではない量子系としては最も簡単なものであるが、量子力学の特徴的な性質を備える。コインの表裏のような古典 対応物と異なり、2状態系の量子状態を記述する状態ベクトル は、2つの独立な状態の重ね合わせ の比率と位相 差が異なる無限に多くの状態を取り得る。こうした性質は量子情報 理論での量子ビット の基礎をなす。2状態系として記述される系は電子や原子核のスピン 1 / 2 の系、光子 の偏光 状態、共鳴波長の光に応答する原子の2準位 系、ニュートリノ振動 、アンモニア 分子の反転モードなどの豊富な物理現象を含む[ 4] [ 5] 。また、核磁気共鳴 やアンモニアメーザー の理論的な基礎付けを与えている。J. J. Sakurai の著書 "Modern quantum mechanics " ではノーベル賞 受賞者で2状態系の解析に携わった者として、7人の名を挙げている。
概要 2状態系では正規直交化 された2つの状態ベクトル |1⟩ , |2⟩ で任意の量子状態を表すことができる。|1⟩ , |2⟩ の取り方は自由であるが、通常、実験的に準備でき、かつ物理的な意味づけが明確なものが用いられる。例えば、スピン 1 / 2 の系での固有状態、外場を印加しない状態での原子の2準位がそうした例である。
2つの状態ベクトル |1⟩ , |2⟩ は正規直交性
⟨ α | β ⟩ = δ α β ( α , β = 1 , 2 ) {\displaystyle \langle \alpha |\beta \rangle =\delta _{\alpha \beta }\quad (\alpha ,\beta =1,2)} と完全性 の条件
| 1 ⟩ ⟨ 1 | + | 2 ⟩ ⟨ 2 | = I ^ {\displaystyle |1\rangle \langle 1|+|2\rangle \langle 2|={\hat {I}}} を満たすものとする。但し、δαβ はクロネッカーのデルタ であり、ˆ I は恒等演算子 である。
任意の状態ベクトル |ψ ⟩ は |1⟩ , |2⟩ の線形結合として、次の形で表すことができる。
| ψ ⟩ = c 1 | 1 ⟩ + c 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |\psi \rangle =c_{1}|1\rangle +c_{2}|2\rangle } 状態ベクトルは2次元複素ヒルベルト空間 の元である。また、オブザーバブル としての物理量は縮退 のある場合を除き、2つの固有状態 を持つ。|ψ ⟩ に規格化条件 を課す場合、複素係数 c 1 , c 2 は
| c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} を満たす。特に2つの状態ベクトル |1⟩ , |2⟩ がオブザーバブルの縮退のない固有状態、すなわち観測可能かつ識別できる状態に対応するならば、規格化された状態ベクトル |ψ ⟩ に対し、観測により系が状態 |1⟩ にあることを見いだす確率は |c 1 |2 、状態 |2⟩ にあることを見いだす確率は |c 2 |2 で与えられる。
ハミルトニアン 2状態系のハミルトニアン は2次元複素ヒルベルト空間のエルミート作用素であり、基底の選択の下、状態ベクトルに2×2行列 として作用する。基底として完全正規直交基底 |1⟩ , |2⟩ を取れば、ハミルトニアンは
H ^ = H 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + H 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | + H 21 | 2 ⟩ ⟨ 1 | + H 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {H}}=H_{11}|1\rangle \langle 1|+H_{12}|1\rangle \langle 2|+H_{21}|2\rangle \langle 1|+H_{22}|2\rangle \langle 2|} の形で表すことができる。このとき、ハミルトニアンの行列要素 Hαβ は基底の正規直交性より
H α β = ⟨ α | H ^ | β ⟩ ( α , β = 1 , 2 ) {\displaystyle H_{\alpha \beta }=\langle \alpha |{\hat {H}}|\beta \rangle \quad (\alpha ,\beta =1,2)} と書ける。また、ハミルトニアンのエルミート性 から対角成分の実数条件
H 11 = H 11 ∗ , H 22 = H 22 ∗ {\displaystyle H_{11}=H_{11}^{*},\,H_{22}=H_{22}^{*}} 及び非対角成分の条件
H 12 = H 21 ∗ {\displaystyle H_{12}=H_{21}^{*}} が要請される。ここで、a * は a の複素共役 を表わす。
ハミルトニアン ˆ H の固有値 E I , E II に対応する固有ベクトルをそれぞれ |I⟩ , |II⟩ とする。
H ^ | I ⟩ = E I | I ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\mathrm {I} \rangle =E_{\mathrm {I} }|\mathrm {I} \rangle } H ^ | I I ⟩ = E I I | I I ⟩ {\displaystyle {\hat {H}}|\mathrm {II} \rangle =E_{\mathrm {II} }|\mathrm {II} \rangle } このとき、補助変数 θ, φ を
tan θ = 2 | H 12 | H 11 − H 22 ( 0 ≤ θ < π ) {\displaystyle \tan {\theta }={\frac {2|H_{12}|}{H_{11}-H_{22}}}\quad (0\leq \theta <\pi )} H 21 = | H 21 | e i ϕ ( 0 ≤ ϕ < 2 π ) {\displaystyle H_{21}=|H_{21}|e^{i\phi }\quad (0\leq \phi <2\pi )} として、
E I = 1 2 ( H 11 + H 22 ) + 1 2 ( H 11 − H 22 ) 2 + 4 | H 12 | 2 {\displaystyle E_{I}={\frac {1}{2}}(H_{11}+H_{22})+{\frac {1}{2}}{\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4|H_{12}|^{2}}}} E I I = 1 2 ( H 11 + H 22 ) − 1 2 ( H 11 − H 22 ) 2 + 4 | H 12 | 2 {\displaystyle E_{II}={\frac {1}{2}}(H_{11}+H_{22})-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(H_{11}-H_{22})^{2}+4|H_{12}|^{2}}}} | I ⟩ = cos θ 2 e − i ϕ / 2 | 1 ⟩ + sin θ 2 e i ϕ / 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |\mathrm {I} \rangle =\cos {\frac {\theta }{2}}e^{-i\phi /2}|1\rangle +\sin {\frac {\theta }{2}}e^{i\phi /2}|2\rangle } | I I ⟩ = − sin θ 2 e − i ϕ / 2 | 1 ⟩ + cos θ 2 e i ϕ / 2 | 2 ⟩ {\displaystyle |\mathrm {II} \rangle =-\sin {\frac {\theta }{2}}e^{-i\phi /2}|1\rangle +\cos {\frac {\theta }{2}}e^{i\phi /2}|2\rangle } と求めることができる。|1⟩ , |2⟩ と 上記の |I⟩ , |II⟩ はユニタリ変換 で結ばれており、 |I⟩ , |II⟩ も正規直交性
⟨ a | b ⟩ = δ a b ( a , b = I , I I ) {\displaystyle \langle a|b\rangle =\delta _{ab}\quad (a,b=\mathrm {I} ,\mathrm {II} )} と完全性
| I ⟩ ⟨ I | + | I I ⟩ ⟨ I I | = I ^ {\displaystyle |\mathrm {I} \rangle \langle \mathrm {I} |+|\mathrm {II} \rangle \langle \mathrm {II} |={\hat {I}}} の条件を満たす基底である。また、|I⟩ , |II⟩ は次の形で ˆ H のスペクトル分解 を与える。
H ^ = E I | I ⟩ ⟨ I | + E I I | I I ⟩ ⟨ I I | {\displaystyle {\hat {H}}=E_{\mathrm {I} }|\mathrm {I} \rangle \langle \mathrm {I} |+E_{\mathrm {II} }|\mathrm {II} \rangle \langle \mathrm {II} |}
時間発展 量子状態
| ψ ( t ) ⟩ = c 1 ( t ) | 1 ⟩ + c 2 ( t ) | 2 ⟩ ( | c 1 ( t ) | 2 + | c 2 ( t ) | 2 = 1 ) {\displaystyle |\psi (t)\rangle =c_{1}(t)|1\rangle +c_{2}(t)|2\rangle \quad (|c_{1}(t)|^{2}+|c_{2}(t)|^{2}=1)} の時間発展 はシュレディンガー方程式
i ℏ ∂ ∂ t | ψ ( t ) ⟩ = H ^ | ψ ( t ) ⟩ {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle } に従うことから、時間発展は複素係数 c 1 , c 2 の微分方程式
i ℏ d d t c 1 ( t ) = H 11 c 1 ( t ) + H 12 c 2 ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{1}(t)=H_{11}c_{1}(t)+H_{12}c_{2}(t)} i ℏ d d t c 2 ( t ) = H 21 c 1 ( t ) + H 22 c 2 ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}c_{2}(t)=H_{21}c_{1}(t)+H_{22}c_{2}(t)} で与えられる。
例
共鳴波長の光に応答する2準位原子系 光と相互する原子の系は、共鳴 条件において、2準位原子としての近似が可能であり、2状態系として扱える。原子の特定の2準位として、エネルギー準位 E 1 の下側の準位1とエネルギー準位 E 2 の上側の準位2を考える。光の波長 が共鳴条件付近にあれば、準位2の状態はエネルギー ħω 21 = E 2 − E 1 の光子を放出して準位1に遷移 し、準位1の状態はエネルギー ħω 21 の光子を吸収して準位2に遷移する。レーザー光 のような単色性 のよい光では、状態の遷移は準位1と準位2の間に限られ、他の準位への遷移は無視できるため、2準位原子として近似できる。
スピン1/2の系 電子や原子核のスピン 1 / 2 の系は2状態系の典型例である。スピン演算子 ˆ S x , ˆ S y , ˆ S z で記述されるスピン 1 / 2 の系に対し、量子化軸として z 軸をとると、ˆ S z の固有値 +ħ / 2 , −ħ / 2 の固有状態として、|+⟩ , |−⟩ が取れる。
パウリ行列による表現
パウリ行列の導入 2状態系の演算子の記述には、パウリ行列 による表現が適用できる。エルミート演算子
σ ^ 1 = | 1 ⟩ ⟨ 2 | + | 2 ⟩ ⟨ 1 | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}=|1\rangle \langle 2|+|2\rangle \langle 1|} σ ^ 2 = − i ( | 1 ⟩ ⟨ 2 | − | 2 ⟩ ⟨ 1 | ) {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{2}=-i(|1\rangle \langle 2|-|2\rangle \langle 1|)} σ ^ 3 = | 1 ⟩ ⟨ 1 | − | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{3}=|1\rangle \langle 1|-|2\rangle \langle 2|} を導入すると、これらは関係式
σ ^ 1 2 = σ ^ 2 2 = σ ^ 3 2 = I ^ {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}^{\,2}={\hat {\sigma }}_{2}^{\,2}={\hat {\sigma }}_{3}^{\,2}={\hat {I}}} σ ^ 1 σ ^ 2 = − σ ^ 2 σ ^ 1 = i σ ^ 3 , σ ^ 2 σ ^ 3 = − σ ^ 3 σ ^ 2 = i σ ^ 1 , σ ^ 3 σ ^ 1 = − σ ^ 1 σ ^ 3 = i σ ^ 2 {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\sigma }}_{2}=-{\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\sigma }}_{1}=i{\hat {\sigma }}_{3},\quad {\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\sigma }}_{3}=-{\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\sigma }}_{2}=i{\hat {\sigma }}_{1},\quad {\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\sigma }}_{1}=-{\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\sigma }}_{3}=i{\hat {\sigma }}_{2}} を満たす。
特に状態ベクトル |1⟩ , |2⟩ を特定の基底
| 1 ⟩ = ( 1 0 ) , | 2 ⟩ = ( 0 1 ) {\displaystyle |1\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\,|2\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}} と対応させたときに、ˆ σ k は
σ ^ 1 = ( 0 1 1 0 ) , σ ^ 2 = ( 0 − i i 0 ) , σ ^ 3 = ( 1 0 0 − 1 ) {\displaystyle {\hat {\sigma }}_{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad {\hat {\sigma }}_{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\\\end{pmatrix}}{\mbox{, }}\quad {\hat {\sigma }}_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}} となり、パウリ行列そのものになる。任意の演算子
A ^ = A 11 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + A 12 | 1 ⟩ ⟨ 2 | + A 21 | 2 ⟩ ⟨ 1 | + A 22 | 2 ⟩ ⟨ 2 | ( A α β = ⟨ α | A ^ | β ⟩ ) {\displaystyle {\hat {A}}=A_{11}|1\rangle \langle 1|+A_{12}|1\rangle \langle 2|+A_{21}|2\rangle \langle 1|+A_{22}|2\rangle \langle 2|\quad (A_{\alpha \beta }=\langle \alpha |{\hat {A}}|\beta \rangle )} は恒等演算子 ˆ I と ˆ σ k (k = 1, 2, 3) により、
A ^ = a 0 I ^ + a 1 σ ^ 1 + a 2 σ ^ 2 + a 3 σ ^ 3 = a 0 I ^ + a → ⋅ σ ^ → {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {A}}&=a_{0}{\hat {I}}+a_{1}{\hat {\sigma }}_{1}+a_{2}{\hat {\sigma }}_{2}+a_{3}{\hat {\sigma }}_{3}\\&=a_{0}{\hat {I}}+{\vec {a}}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}\end{aligned}}} と展開できる。但し、展開係数は
a 0 = 1 2 Tr ( A ^ ) = 1 2 ( A 11 + A 22 ) {\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{11}+A_{22})} a 1 = 1 2 Tr ( σ ^ 1 A ^ ) = 1 2 ( A 21 + A 12 ) {\displaystyle a_{1}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{21}+A_{12})} a 2 = 1 2 Tr ( σ ^ 2 A ^ ) = i 2 ( A 12 − A 21 ) {\displaystyle a_{2}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {A}})={\frac {i}{2}}(A_{12}-A_{21})} a 3 = 1 2 Tr ( σ ^ 3 A ^ ) = 1 2 ( A 11 − A 22 ) {\displaystyle a_{3}={\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {A}})={\frac {1}{2}}(A_{11}-A_{22})} で与えられる。特に ˆ A がエルミート演算子である場合、これらの展開係数は実数となる。
時間発展作用素への応用 ハミルトニアン ˆ H が時間に陽に依存しない場合、時間発展演算子 は行列指数関数 で与えられるが、2状態系ではパウリ行列による展開で直接的に求めることができる。ハミルトニアン ˆ H はパウリ行列で
H ^ = ℏ ω 0 I ^ + ℏ ω 1 σ ^ 1 + ℏ ω 2 σ ^ 2 + ℏ ω 3 σ ^ 3 = ℏ ω 0 I ^ + ℏ ω → ⋅ σ ^ → {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\hbar \omega _{0}{\hat {I}}+\hbar \omega _{1}{\hat {\sigma }}_{1}+\hbar \omega _{2}{\hat {\sigma }}_{2}+\hbar \omega _{3}{\hat {\sigma }}_{3}\\&=\hbar \omega _{0}{\hat {I}}+\hbar {\vec {\omega }}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}\end{aligned}}} の形で展開できる。第一項は時間発展には共通位相因子 分 e −iω 0 t しか寄与せず、エネルギーの基準を取り直すことで無視してもよい。このとき 時間発展演算子はパウリ行列の行列指数関数 の性質により、
U ^ ( t , 0 ) = e − i ℏ H ^ t = e − i ω 0 t I ^ e − i t ω → ⋅ σ ^ → = e − i ω 0 t { cos ( | ω → | t ) I ^ − i sin ( | ω → | t ) ( n → ⋅ σ ^ → ) } {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {U}}(t,0)&=e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {H}}t}\\&=e^{-i\omega _{0}t{\hat {I}}}e^{-it{\vec {\omega }}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}}}\\&=e^{-i\omega _{0}t}\left\{\cos {(|{\vec {\omega }}|t)}\,{\hat {I}}-i\sin {(|{\vec {\omega }}|t)}\,({\vec {n}}\cdot {\vec {\hat {\sigma }}})\right\}\end{aligned}}} で与えられる。但し、n → は
n → = ω → | ω → | {\displaystyle {\vec {n}}={\frac {\vec {\omega }}{|{\vec {\omega }}|}}} で与えられる単位ベクトル である。
ブロッホ球 ブロッホ球による表示 2状態系は3次元実空間 の単位球面 であるブロッホ球で記述することができる。2状態系の密度行列
ρ ^ = | ψ ⟩ ⟨ ψ | = | c 1 | 2 | 1 ⟩ ⟨ 1 | + c 1 c 2 ∗ | 1 ⟩ ⟨ 2 | + c 2 c 1 ∗ | 2 ⟩ ⟨ 1 | + | c 2 | 2 | 2 ⟩ ⟨ 2 | {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\rho }}&=|\psi \rangle \langle \psi |\\&=|c_{1}|^{2}|1\rangle \langle 1|+c_{1}c_{2}^{\,\ast }|1\rangle \langle 2|+c_{2}c_{1}^{\,\ast }|2\rangle \langle 1|+|c_{2}|^{2}|2\rangle \langle 2|\end{aligned}}} はパウリ行列により、
ρ ^ = s 0 I ^ 2 + s 1 σ ^ 1 2 + s 2 σ ^ 2 2 + s 3 σ ^ 3 2 {\displaystyle {\hat {\rho }}=s_{0}{\frac {\hat {I}}{2}}+s_{1}{\frac {{\hat {\sigma }}_{1}}{2}}+s_{2}{\frac {{\hat {\sigma }}_{2}}{2}}+s_{3}{\frac {{\hat {\sigma }}_{3}}{2}}} と展開できる。但し、展開係数は
s 0 = Tr ( ρ ^ ) = | c 1 | 2 + | c 2 | 2 = 1 {\displaystyle s_{0}=\operatorname {Tr} ({\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1} s 1 = Tr ( σ ^ 1 ρ ^ ) = c 1 ∗ c 2 + c 2 ∗ c 1 {\displaystyle s_{1}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{1}{\hat {\rho }})=c_{1}^{\,\ast }c_{2}+c_{2}^{\,\ast }c_{1}} s 2 = Tr ( σ ^ 2 ρ ^ ) = i ( c 1 c 2 ∗ − c 2 c 1 ∗ ) {\displaystyle s_{2}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{2}{\hat {\rho }})=i(c_{1}c_{2}^{\,\ast }-c_{2}c_{1}^{\,\ast })} s 3 = Tr ( σ ^ 3 ρ ^ ) = | c 1 | 2 − | c 2 | 2 {\displaystyle s_{3}=\operatorname {Tr} ({\hat {\sigma }}_{3}{\hat {\rho }})=|c_{1}|^{2}-|c_{2}|^{2}} で与えられる実数である。ここで
s → ( t ) = s 1 e 1 → + s 2 e 2 → + s 2 e 3 → {\displaystyle {\vec {s}}(t)=s_{1}{\vec {e_{1}}}+s_{2}{\vec {e_{2}}}+s_{2}{\vec {e_{3}}}} で定義される単位ベクトル をブロッホベクトル といい、ブロッホベクトルがなす単位球面をブロッホ球 という。ブロッホ球上の点は経度 π / 2 − θ 、経度 φ とする極座標 の実パラメータ (φ , θ ) で表すことができる。2状態系のブロッホ球による表示は米国の物理学者リチャード・ファインマン によって導入された。
脚注 [脚注の使い方 ]
参考文献
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関連項目 ウィキメディア・コモンズには、2状態系 に関連するカテゴリがあります。
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