Dalam bidang matematik, gelanggang ialah suatu struktur algebra yang terdiri daripada suatu set dilengkapi dengan dua operasi dedua (lazimnya dipanggil tambah dan darab) dan mematuhi syarat-syarat tertentu.
Takrif
Secara formal, gelanggang ialah suatu set
, dilengkapi dengan dua operasi dedua: tambah,
dan darab,
(di mana
adalah tatatanda untuk hasil darab Descartes). Set bersama-sama dua operasi itu haruslah mematuhi aksiom-aksiom berikut:
adalah kumpulan Abel terhadap penambahan: - Tutupan terhadap penambahan - Bagi setiap
,
dalam
,
juga dalam
. - Sekutuan dalam penambahan - Bagi setiap
,
,
dalam
,
. - Kewujudan identiti penambahan - Wujud unsur 0 dalam
, di mana bagi setiap unsur
dalam
,
. - Kewujudan songsangan penambahan - Bagi setiap
dalam
, wujud unsur
dalam
di mana
. - Kalis tukar tertib dalam penambahan - Bagi setiap
,
dalam
,
.
adalah monoid terhadap pendaraban: - Tutupan terhadap pendaraban - Bagi setiap
,
in
,
juga dalam
. - Sekutuan dalam pendaraban - Bagi setiap
,
,
dalam
,
. - Kewujudan identiti pendaraban - Wujud unsur 1 dalam
, di mana bagi setiap unsur
dalam
,
.
- Hukum-hukum kalis agihan:
- Bagi setiap
,
,
dalam
,
. - Bagi setiap
,
,
dalam
,
.