De bissectricestelling is een stelling uit de meetkunde die de verhouding geeft van de delen van de zijde tegenover een hoek van een driehoek ten opzichte van de naastliggende zijden van deze driehoek.
Beschouw een driehoek en laat het punt het snijpunt van de bissectrice van hoek en de zijde zijn. De bissectricestelling zegt dat de verhouding tussen de lengte van het lijnstuk en de lengte van het lijnstuk gelijk is aan de verhouding tussen de lengte van de zijde en de lengte van de zijde In formule :
De gegeneraliseerde stelling zegt dat in een driehoek voor een punt op de zijde geldt:
Bewijs
De driehoek uit het bewijs. Hierin is de hoek · recht.
Laat het punt zijn waar de loodlijn uit op de lijn snijdt en laat het punt zijn waar de loodlijn uit op de lijn snijdt. Dan zijn de hoeken en recht, terwijl de hoeken en congruent (overstaand) zijn als op het lijnsegment ligt. Als dit niet het geval is, zijn de hoeken identiek. Dit impliceert dat de driehoeken en gelijkvormig zijn, zodat geldt:
Is de bissectrice van hoek dan zijn en aan elkaar gelijk, dus ook de sinussen, waardoor de sinus in de teller en in de noemer van de breuk tegen elkaar weggedeeld kunnen worden.
Geschiedenis
Deze stelling komt al in Boek VI van de Elementen van Euclides voor als « Propositie III ».