Dedekind-som

in de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, is een Dedekind-som, vernoemd naar de Duitse wiskundige Richard Dedekind, een bepaalde som van producten van een zaagtandfunctie. Zij wordt gegeven door een functie D van drie geheeltallige variabelen.

Dedekind introduceerde de Dedekind-som om de functionaalvergelijking van de Dedekind-eta-functie uit te drukken. Dedekind-sommen zijn vervolgens bestudeerd in de getaltheorie en hebben zich ook in een aantal problemen binnen de topologie geopenbaard. Dedekind-sommen gehoorzamen aan een groot aantal relaties op zichzelf.

Voor de gehele getallen ${\displaystyle p,q}$ en ${\displaystyle r\neq 0}$ is de dedekind-som gedefinieerd als:

${\displaystyle D(p,q;r)=\sum _{n=1}^{r-1}\left(\!\!\left({\frac {pn}{r}}\right)\!\!\right)\left(\!\!\left({\frac {qn}{r}}\right)\!\!\right)}$

waarin ${\displaystyle (\!(\,\cdot \,)\!)}$ de zaagtandfunctie is, gedefinieerd door

${\displaystyle (\!(x)\!)={\begin{cases}x-\lfloor x\rfloor -{\tfrac {1}{2}},&{\text{als }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} ,\\0,&{\text{als }}x\in \mathbb {Z} \end{cases}}}$

In het geval ${\displaystyle p=1}$ schrijft men wel:

${\displaystyle s(q,r)=D(1,q;r)}$

• R.R. Hall (York) en M.N. Huxley (Cardiff), Dedekind sums and continued fractions, ACTA ARITHMETICA LXIII.1, 1993

• Dit artikel of een eerdere versie ervan is een (gedeeltelijke) vertaling van het artikel Dedekind sum op de Engelstalige Wikipedia, dat onder de licentie Creative Commons Naamsvermelding/Gelijk delen valt. Zie de bewerkingsgeschiedenis aldaar.