Dichtheidsstelling van Lebesgue

In de maattheorie, een deelgebied van de wiskunde, stelt de dichtsheidsstelling van Lebesgue dat voor iedere lebesgue-meetbare verzameling ${\displaystyle A}$ de 'dichtheid' van ${\displaystyle A}$ in bijna elk punt van ${\displaystyle A}$ gelijk is aan 1. Aangezien van een punt van de rand van ${\displaystyle A}$ elke omgeving gedeeltelijk in ${\displaystyle A}$ en gedeeltelijk buiten ${\displaystyle A}$ ligt, is de dichtheid van ${\displaystyle A}$ daar kleiner dan 1. De stelling betekent dus intuïtief dat de rand van ${\displaystyle A}$ kan worden verwaarloosd. De stelling is genoemd naar de Franse wiskundige Henri Lebesgue.

Laat ${\displaystyle \lambda }$ de lebesgue-maat op de euclidische ruimte ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ en ${\displaystyle A}$ een lebesgue-meetbare deelverzameling van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zijn. Definieer de 'dichtheid bij benadering' van ${\displaystyle A}$ in een ${\displaystyle \varepsilon }$-omgeving van een punt ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ als

${\displaystyle d_{\varepsilon }(x)={\frac {\lambda (A\cap B_{\varepsilon }(x))}{\lambda (B_{\varepsilon }(x))}}}$

waarin ${\displaystyle B_{\varepsilon }}$ de bol aanduidt met straal ${\displaystyle \varepsilon }$ en middelpunt ${\displaystyle x}$.

De dichtheidsstelling van Lebesgue houdt in dat in bijna ieder punt ${\displaystyle x}$ van een lebesgue-meetbare verzameling ${\displaystyle A}$ de dichtheid van ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle d(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}d_{\varepsilon }(x)}$

bestaat en gelijk is aan 1.

Met andere woorden: voor elke lebesgue-meetbare verzameling ${\displaystyle A}$ is de dichtheid van ${\displaystyle A}$ bijna overal in ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ gelijk aan 0 of 1. Wel is het zo dat als ${\displaystyle \lambda (A)>0}$ en ${\displaystyle \lambda (\mathbb {R} ^{n}\setminus A)>0}$, er altijd punten van ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ zijn waarin de dichtheid van ${\displaystyle A}$ noch 0, noch 1 is.

Gegeven een vierkant in het vlak is de dichtheid van elk punt binnen dit vierkant bijvoorbeeld gelijk aan 1, op de randen is de dichtheid gelijk aan 1/2, en in de hoekpunten is de dichtheid gelijk aan 1/4. Er zijn dus punten in het vlak waar de dichtheid noch 0, noch 1 is, maar hun aantal kan worden verwaarloosd.

• (en) HT Croft. Three lattice-point problems of Steinhaus, 1982. in Quarterly Journal of Mathematics, 33, 1, blz 71-83