Een differentiaalvorm is een object uit de meetkunde. Het geeft een precieze betekenis aan begrippen als "georiënteerd volume van een deelruimte" of "georiënteerde integraal over een deelruimte". Het veralgemeent onder meer:
- lijn- en kringintegraal
- flux van een vectorveld doorheen een oppervlak, zoals de elektrische flux in de natuurkunde.
Differentiaalvormen leven in het algemeen op gladde variëteiten, dat zijn gekromde ruimten waarvan de punten plaatselijk kunnen beschreven worden met coördinaten. Dit artikel begint echter met de definitie van differentiaalvormen op de
-dimensionale reële Euclidische ruimte
Definitie
Zij
een natuurlijk getal. Het
-voudige uitwendig product van
met zichzelf is het antisymmetrisch tensorproduct, dus een quotiënt van het gewone tensorproduct waarbij sommige elementen met elkaar of met elkaars tegengestelde worden geïdentificeerd. Meer bepaald blijft het antisymmetrisch tensorproduct van
vectoren ongewijzigd onder een even permutatie, en verwisselt het van teken onder een oneven permutatie.
![{\displaystyle \Lambda ^{k}(\mathbb {R} ^{n})=\otimes ^{k}(\mathbb {R} ^{n})/\left\langle \left\{v_{1}\otimes \ldots \otimes v_{n}-(-1)^{\sigma }v_{\sigma (1)}\otimes \ldots \otimes v_{\sigma (n)}|v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {R} ^{n},\,\sigma \in S_{k}\right\}\right\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d82ac74b37261e07bdeb921c7131a2f7fd4266fa)
Hier is
de symmetrische groep (permutatiegroep) op
elementen, en
is 1 of –1 naargelang de permutatie
even of oneven is.
Een homogene differentiaalvorm van rang
kortweg
-vorm, is een gladde functie van
naar
Opmerkingen
Voor
is
Men bestudeert dus gewoonlijk slechts differentiaalvormen van orde
Voor
is
De 0-vormen zijn dus gewoon de gladde reële functies op
in deze context ook scalairen genoemd.
De dimensie van
is gelijk aan het aantal combinaties van
uit
Basis
Noteer
voor de standaardbasis van
Zij
Noteer
![{\displaystyle \mathrm {d} x^{j_{1}}\wedge \mathrm {d} x^{j_{2}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{j_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcf6071fff5067515b45135dca94086871986a2e)
voor het beeld van
![{\displaystyle \mathrm {d} x^{j_{1}}\otimes \mathrm {d} x^{j_{2}}\otimes \ldots \otimes \mathrm {d} x^{j_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4fa0883113b3cbf6b7269b646276b18a7f09f81)
onder de canonische surjectie
![{\displaystyle \otimes ^{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)\to \Lambda ^{k}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a8e5e802aef4a8201be721352ddf12297d97b43)
De vectoren
![{\displaystyle \{\mathrm {d} x^{j_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{j_{k}}|1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/109e10465bf69aa555d04dd81019372381ff901b)
vormen een basis voor
Elke
-vorm kan geschreven worden als een lineaire combinatie van deze vectoren met als coëfficiënten, gladde functies van
naar
![{\displaystyle w(x^{1},\ldots ,x^{n})=\sum _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}w_{j_{1}<\ldots <j_{k}}(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{j_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{j_{k}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be8553f9ae062edb6da9ac591d0130ed1f0acaf8)
Interpretatie en voorbeelden
Intuïtief is een
-vorm een georiënteerde volumemeting in
dimensies. Formeel is het een som van 0 of meer objecten van de vorm
![{\displaystyle f(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{j_{1}}\wedge \mathrm {d} x^{j_{2}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{j_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16def2e113dc47bd434d1ac13aff0a501e39eeb4)
In drie dimensies definiëren we bijvoorbeeld een 2-vorm
en een 1-vorm
door
![{\displaystyle w=x^{1}\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}+x^{1}\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea29b489e76224820966907cc45422666922943e)
![{\displaystyle q=\sin(x^{1}-x^{2})\mathrm {d} x^{3}+x^{2}x^{3}\mathrm {d} x^{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b861e8428533a85c4996e8b8a0d2e401b2e364)
Uitwendige afgeleide
De uitwendige afgeleide of differentiaal van een
-vorm
is een
-vorm, genoteerd als
met de volgende definitie
![{\displaystyle \mathrm {d} \left(f(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\right)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\mathrm {d} x^{i_{1}}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{i_{k}}\wedge \mathrm {d} x^{j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcc087e937cf1d952e99ad45cb1b43bf3cad3085)
en verder op sommen van dergelijke
-vormen en op niet-homogene differentiaalvormen door lineariteit.
In de bovenstaande som zijn hoogstens
van de
termen verschillend van nul, want door antisymmetrie is
als minstens een van de indices
gelijk is aan
Voorbeelden
Zij
de 2-vorm gegeven door
![{\displaystyle w_{1}=\sin(x^{3})\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6e50128f50d217a4705bb12d97a37aca96ef6b4)
Dan is zijn uitwendige afgeleide
![{\displaystyle \mathrm {d} w_{1}=\cos(x^{3})\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b66403506049ee362f32251fab0ccce4faa8b929)
De volgende 2-vormen hebben telkens uitwendige afgeleide 0:
![{\displaystyle w_{2}=x^{1}\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}+x^{1}\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bcfac6b3d16e7056dc081ff56bfb8130c41aa0a)
![{\displaystyle w_{3}=\cos(x^{3})\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}\wedge \mathrm {d} x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e610f21e36e37caa118c27276f853c0d02d8f38)
Algemene definitie in gekromde ruimten
Zij
een
-dimensionale gladde variëteit met rakende bundel
De coraakruimte
is de duale bundel. De uitwendige algebra over
genoteerd
is de oneindige directe som van alle antisymmetrische tensorproducten van
met zichzelf. Hij kan worden opgevat als de quotiëntalgebra van de tensoralgebra van
over een (tweezijdig) ideaal zoals hierboven bij de reële Euclidische ruimte.
De antisymmetrie in de definitie impliceert dat in de oneindige directe som alleen de eerste
termen (
) niet-triviaal zijn.
Een differentiaalvorm over
is een sectie van de bundel
Een
-vorm of homogene differentiaalvorm van rang
, over
is een sectie van de deelruimte
der antisymmetrische
-lineaire vormen (cotensoren van rang
).
Schrijfwijze in lokale coördinaten
In een coördinatenstelsel
is een differentiaalvorm een uitdrukking van de vorm
![{\displaystyle f(x^{1},\ldots ,x^{n})+f_{1}(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{1}+\ldots +f_{n}(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{n}+f_{12}(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}+\ldots +f_{12\ldots n}(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a605451b0ea1913c03ce10ce6664aa433fb5687f)
Een
-vorm is een dergelijke uitdrukking waarbij alleen termen met uitwendige producten van precies
covectoren optreden. Bij een coördinatentransformatie gedraagt elke term afzonderlijk zich als een cotensor van rang
Interpretatie
De interpretatie als georiënteerde
-dimensionale volumemeting blijft gelden in gekromde ruimten.
Nulvormen zijn gewone reëelwaardige functies op
Eenvormen zijn covectorvelden, ze meten de lengte van een vectorveld (eventueel negatief). Tweevormen zijn antisymmetrische bilineaire vormen op de raakruimte, ze meten de georiënteerde oppervlakte van het parallellogram dat wordt opgespannen door twee raakvectoren met hetzelfde aangrijpingspunt.
Volume en oriënteerbaarheid
De hoogst mogelijke
waarvoor niet-triviale
-vormen bestaan, is de dimensie
van de variëteit. Als
blijft er nog slechts één vrijheidsgraad over (de vezels van de cotensorbundel hebben dimensie 1):
![{\displaystyle w=f_{12\ldots n}(x^{1},\ldots ,x^{n})\mathrm {d} x^{1}\wedge \ldots \wedge \mathrm {d} x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8f3d8c9b6b4cd9eab123db9511667c82c006b70)
Niet elke variëteit heeft een globale
-vorm die in ieder punt verschilt van 0. Als een dergelijke vorm bestaat, heet hij volumevorm en de variëteit heet oriënteerbaar.
Cohomologie
De uitwendige afgeleide
is een lineaire transformatie van
Steunend op de verwisselbaarheid van partiële afgeleiden kan men aantonen dat
m.a.w. de differentiaal van een differentiaal is triviaal.
Een
-vorm heet gesloten als zijn uitwendige afgeleide nul is. Een
-vorm heet exact als hij zelf de uitwendige afgeleide is van een
-vorm. Exacte differentiaalvormen zijn gesloten, maar het omgekeerde hoeft niet altijd waar te zijn. In het bijzondere geval van de Euclidische ruimte
is elke gesloten differentiaalvorm exact.
Een voorbeeld van een gesloten vorm is de 2-vorm
![{\displaystyle w=x^{1}\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{2}+x^{1}\mathrm {d} x^{1}\wedge \mathrm {d} x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea29b489e76224820966907cc45422666922943e)
Deze differentiaalvorm is tevens exact. Hij is de uitwendige afgeleide \mathrm{d}q van de 1-vorm
![{\displaystyle q=-{\tfrac {1}{2}}(x^{1})^{2}\mathrm {d} x^{2}-{\tfrac {1}{2}}(x^{1})^{2}\mathrm {d} x^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a6aa90381c0f79672ef6cb76f9e674203a2746a)
Beschouw de volgende 1-vorm op de tweedimensionale ruimte
![{\displaystyle w={\frac {-x^{2}}{(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}}}\mathrm {d} x^{1}+{\frac {x^{1}}{(x^{1})^{2}+(x^{2})^{2}}}\mathrm {d} x^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbcad0ed38f4917d6ee5132ac5f4298a92b28a8f)
Men verifieert rechtstreeks door berekening dat
Er bestaat echter geen 0-vorm (scalaire functie)
op heel
die
als differentiaal heeft. De functie
![{\displaystyle f(x^{1},x^{2})=\arctan {\frac {x^{2}}{x^{1}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2cd8edbee4ccc439bac89ad6e8776287221a276)
voldoet aan
maar ze kan niet globaal gedefinieerd worden zonder discontinuïteit, bijvoorbeeld met een "sprong" van
naar
op de negatieve helft van de
-as.
De uitwendige afgeleide maakt van de rij bundels der homogene
-vormen (
) een coketencomplex. De bijbehorende cohomologie is de de Rham-cohomologie van de variëteit
Het laatste voorbeeld toont aan dat de eerste cohomologie van
![{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{2}-\{(0,0)\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc01383df9aec08dddeedc0c3447bfc66b558c86)
niet triviaal is.