Een formule van Newton-Cotes, genoemd naar de bedenkers Isaac Newton en Roger Cotes, is een formule voor de numerieke benadering van een integraal als gewogen som van functiewaarden in equidistante punten. De basisgedachte daarbij is de integrand te benaderen door een polynoom en de benaderende polynoom exact te integreren.
Definitie
Gegeven is de op het interval integreerbare functie Het interval wordt opgedeeld in deelintervallen van gelijke lengte, de zogeheten stapgrootte door:
Het getal heet de orde van de benadering. De functie wordt benaderd met behulp van de bij de opdeling behorende Lagrange-polynomen door:
De benadering voor de integraal van over is:
dus als gewogen som van de functiewaarden in de deelpunten, met als gewichtsfactoren:
In deze definitie worden de eindpunten en in de benadering meegenomen: we spreken van een gesloten formule. Op analoge wijze kunnen ook zogenaamde open formules afgeleid worden, waarin de eindpunten en geen deelpunten zijn. Er zijn daarvoor verschillende methoden in gebruik. Sommige gebruiken de punten zoals boven, andere kiezen
In de tabel staan voor de gesloten formules de genormeerde gewichtsfactoren:
orde n
methode
gewichtsfactoren ωi
1
trapeziumregel
2
regel van Simpson
3
3/8 - regel
4
regel van Boole
5
6
Opmerking
De regel van Boole wordt ook wel regel van Bode genoemd. Dit berust op een typefout uit het verleden waarbij Boole gelezen is als Bode.
De oneven rijen hebben een lagere graad van algebraïsche nauwkeurigheid dan de even rijen. De hogere even rijen hebben negatieve coëfficiënten, wat de afrondingsfouten verhoogt. De regel van Simpson wordt verreweg het meest toegepast, vooral omdat hij eenvoudig is en toch redelijk nauwkeurig.
Voor een nauwkeurige benadering is het enerzijds van belang de orde van de benadering laag te kiezen en anderzijds dat de integrand niet te veel verandert over de deelintervallen. Deze eisen zijn tegenstrijdig, zodat men het integratiegebied wel opdeelt in subintervallen en in elk subinterval weer een lage orde benadering bepaalt. Voorbeelden hiervan zijn de regel van Milne en de regel van Weddle.
Berekening van de gewichten
Aan een voorbeeld is goed te zien hoe de gewichtsfactoren berekend worden. Zonder de algemeenheid te schaden kiezen we en We bekijken het geval dus
Voorbeeld
We benaderen de oppervlakte van een kwart cirkel boven de -as, om 0 en met straal 1. We kiezen en berekenen: