Nul-één-wet van Kolmogorov

De Nul-één-wet van Kolmogorov is een wiskundige stelling in de kansrekening over de mogelijke kansen op bepaalde limieten. De wet behoort tot de nul-één-wetten en beschrijft een klasse van gebeurtenissen die bijna zeker (met kans 1) of bijna nooit (met kans 0) optreden. De wet is genoemd naar Andrey Kolmogorov.

Zij ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ een kansruimte en ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ een rij σ-algebra's in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, dat wil zeggen ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}\subseteq {\mathcal {A}}}$ voor alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Als de σ-algebra's ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}$ onderling onafhankelijk zijn, is de staart-σ-algebra ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ van de rij ${\displaystyle ({\mathcal {A}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ P-triviaal, wat wil zeggen dat voor elke staartgebeurtenis ${\displaystyle T\in {\mathcal {T}}}$ geldt: ${\displaystyle P(T)=0}$ of ${\displaystyle P(T)=1}$.

Analoge uitspraken gelden voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen, en voor de staart-σ-algebra van een rij onderling onafhankelijke gebeurtenissen.

Laat ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ een rij onderling onafhankelijke stochastische variabelen zijn en ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ de bijbehorende staart-σ-algebra. Gemakkelijk kan bewezen worden dat ${\displaystyle \{\omega \mid X_{n}(\omega )\;{\mbox{convergeert voor }}n\to \infty \}\in {\mathcal {T}}}$. De rij ${\displaystyle (X_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ convergeert of divergeert dus bijna zeker. Als in het geval van convergentie ${\displaystyle X}$ de limiet is, dan kan aangetoond worden dat ${\displaystyle X}$ een ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$-meetbare stochastische variabele is. Omdat ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {T}})}$ triviaal is, moet ${\displaystyle X}$ noodzakelijk constant zijn.

Bovendien kan via de Nul-één-wet van Kolmogorov, de Nul-één-wet van Hewitt-Savage afgeleid worden.