Een bilineaire of sesquilineaire vorm heet positief-definiet als hij identieke geordende paren die niet nul zijn, afbeeldt op strikt positieve getallen.
Zij
een bilineaire vorm op een reële vectorruimte
:
![{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\to \mathbb {R} :(x,y)\mapsto \langle x,y\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5178799fbde2f3d9bfc21020d0fa290ae95156)
Deze vorm is positief definiet (en daarmee een inwendig product) als aan de volgende twee voorwaarden voldaan is:
; - de functie is niet-ontaard, dat wil zeggen
![{\displaystyle \forall \,x\in V:\langle x,x\rangle =0\Leftrightarrow x=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c193c75d291f8f8ad595efebce3c6bc61b2b7e)
Deze definitie blijft ongewijzigd gelden voor een sesquilineaire vorm op een complexe vectorruimte.
Voorbeelden
- Een voorbeeld van een positief definiete bilineaire vorm is het klassiek inproduct op
:
![{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8604d9836a90fc7fa1c522d48b7cd7c4e630f3)
- Het product van een complex getal met de toegevoegde van een ander complex getal vormt een positief definiete sesquilineaire vorm op
zelf, want ![{\displaystyle x.{\overline {x}}=|x|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82aff2029737426f4b3decd894c28f3d3ab0ce1c)
- De volgende bilineaire vorm is niet positief en dus zeker niet positief definiet:
![{\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} :(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )\mapsto \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}x_{i}y_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bffd17c2e4b1e37762b3b60d52e8ab3d539a4ca)
Veralgemening
De definitie kan worden gehandhaafd voor willekeurige bilineaire vormen op modulen over geordende ringen.
Zie ook