De stelling van Taylor, in 1715 geformuleerd door Brook Taylor, geeft aan hoe we een functie
in de omgeving van een punt
door middel van een taylorreeks kunnen benaderen. De coëfficiënten van de taylorreeks worden uit de eerste en de hogere afgeleiden van
in
bepaald.
Als een functie
voldoende vaak differentieerbaar is in een omgeving van
kan de functiewaarde
in een punt
uit die omgeving door de taylorreeks worden benaderd:
![{\displaystyle f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27cf1dbaefc6038a22779fb2943aff758a592a3a)
![{\displaystyle f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6caf5cdb7fbb3535874a201383e32c2ea87fa3e0)
![{\displaystyle f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\tfrac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c651915b90de771d8dda2e78b8dbd1743097cc19)
en zo verder:
![{\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{\tfrac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/915c930f4272d3d21f9a0c27e4a5fb51ff898219)
Deze laatste som heet de taylorreeks of de taylorontwikkeling van
in
. Het verschil tussen
en de benaderende taylorreeks heet de restterm. De stelling van Taylor doet een uitspraak over de nauwkeurigheid van de benadering, door een schatting te geven van de restterm.
De stelling is er in verschillende versies, met meer of minder aangescherpte voorwaarden en onderscheiden vormen van de restterm.
Stelling
De stelling is de volgende. Gegeven de functie
in het punt
, die
keer kan worden gedifferentieerd. Dan is er een functie
zodanig dat
![{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}h_{n}(x)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/465231d103292267ba8b952d612a64f1277e2029)
en
![{\displaystyle f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\tfrac {1}{k!}}f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k}=h_{n}(x)(x-x_{0})^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03c4596a4224e3bfdde0d0fe891d59465e4e6296)
Deze vorm van de restterm wordt de Peano-vorm genoemd.
Onder sterkere regulariteitsvoorwaarden zijn er andere vormen van de stelling met meer expliciete uitdrukkingen voor de restterm. Een daarvan is de volgende.
Als
een
keer continu differentieerbare functie is, dat wil zeggen differentieerbaar met continue afgeleide, op het interval
, is er voor elke
een getal
tussen
en
, zodanig dat
![{\displaystyle R_{n}(x)=f(x)-\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{(n+1)!}}(x-x_{0})^{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e7bf199d552cb9e8d4995422e26634473446d65)
De stelling kan ook zo worden geformuleerd dat bij elk getal
een getal
bestaat, zodat de restterm van de volgende algemene vorm is, de restterm van Schlömilch:
.
Voor
is dit de restterm van Cauchy:
![{\displaystyle R_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\theta )}{n!}}(x-\theta )^{n}(x-x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b595e664b25398a9f6cc59dff7cea2992974b956)
Voor
is dit de in de stelling genoemde restterm van Lagrange.
Bewijs
De stelling berust op toepassing van de middelwaardestelling op de restterm:
![{\displaystyle R_{n}(x)=\int \limits _{x_{0}}^{x}{\frac {(x-t)^{n}}{n!}}f^{(n+1)}(t)\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91bdabf2aa335d27266791909b76db8ef20b6efd)
Voorbeelden
- In sommige gevallen, en zeker in praktische berekeningen, bestaat een benadering van een functiewaarde uit een eindig aantal benaderingen als boven. Als de functie
voldoende vaak differentieerbaar is, geldt:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(x_{0})}{k!}}(x-x_{0})^{k}+R_{n}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407df9dc30f6423407b44b78c64b89a47dff2e47)
- waarin men
zo kan kiezen dat de restterm voldoende klein is.
- Een benadering van
wordt verkregen door in de bovenstaande formule
te stellen en te gebruiken dat de afgeleiden van
gelijk zijn aan zichzelf, dus voor
steeds gelijk zijn aan 1:
![{\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots +{\frac {x^{n}}{n!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3cf7f59460222bce0ddd95de0b4c31643932ae)
- Niet bij elke functie lukt zo'n benadering; van bijvoorbeeld de functie
voor
en ![{\displaystyle \ f(0)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c0d3930dc3dbcac92dbe6e4c04738096bd21c4c)
- zijn alle afgeleiden nul voor
. De functiewaarde zit geheel in de restterm, wat de stelling voor deze functie onbruikbaar maakt.