Feynman-diagram for utsendelse av ett foton fra elektron i bevegelse.
Kvantisert strålingsteori omhandler kvantisering av elektromagnetisk stråling. Dette teoretiske gjennombruddet ble gjort av Paul Dirac i 1927 kort etter kvantemekanikken var etablert for partikler. Det viste at strålingen kan beskrives som masseløse partikler som Einstein allerede i 1905 hadde foreslått som en forklaring av fotoelektrisk effekt. I tillegg viste arbeidet til Dirac at fotonene oppfylte Bose-Einstein statistikk.
I den kvantiserte strålingsteorien kan fotoner emitteres og absorberes av partikler med elektrisk ladning. Deres totale antall er derfor ikke konstant. En tilsvarende teori for ikke-relativistiske partikler ble snart utviklet av Pascual Jordan og andre. Den blir i dag ofte omtalt som andrekvantisering. Med etableringen av Dirac-ligningen i 1928 ble relativistisk kvantefeltteori utviklet i årene som fulgte. Den opprinnelige strålingsteorien tok dermed etter hvert formen til moderne kvanteelektrodynamikk for kvantisert stråling og elektroner. Det er den mest nøyaktige teori som noensinne er laget.[1]
Elektromagnetiske felt
Den klassiske teorien for elektromagnetiske felt er formulert ved Maxwells ligninger. De beskriver hvordan det elektriske feltet og det magnetiske feltet varierer i tid og rom. Når feltene opptrer som stråling, består denne av elektromagnetiske bølger. Kvantisert strålingsteori beskriver de elektromagnetiske feltene som her opptrer, i overensstemmelse med kvantemekanikkens prinsipper.[2]
En kvantemekanisk beskrivelse er basert på Schrödinger-ligningen hvor strålingens Hamilton-operator inngår. Den bygger på den klassiske energien til systemet. For den frie strålingen er den gitt ved energitettheten
der ε0 og μ0 er henholdsvis elektrisk og magnetisk konstant i SI-systemet med måleenheter. De to feltene som opptrer her, er ikke uavhengige av hverandre, men er forbundet gjennom ligningene til Maxwell. Han innførte vektorpotensialet slik at
hvor er Coulomb-potensialet som er null for fri stråling. Dens klassiske Hamilton-funksjon tar dermed formen
og danner grunnlaget for kvantemekanisk fremstilling av strålingens egenskaper. Det vil innebære en kvantisering av vektorpotensialet som er den grunnleggende variable i denne strålingsteorien.
Da vektorfeltet har tre komponenter, kan det derfor se ut til det også er antall frihetsgrader i denne feltteorien. Men på grunn av gaugeinvarians er det her naturlig å gjøre bruk av den ekstra betingelsen
Dette kravet kalles for valg av strålingsgauge eller «transvers gauge». Det elektromagnetiske feltet inneholder derfor to frihetsgrader.[3]
Periodiske grensebetingelser
Klassisk strålingsteori er basert på lløsninger av Maxwells ligninger. Disse er avhengig av grensebetingelsene som feltene må oppfylle. En kvantisering av vektorfeltet kan på mange måter gjøres mest direkte ved å benytte dets Fourier-komponenter i et stort volum V = L3 hvor det pålegges periodiske grensebetingelser. Da er
Da må bølgevektoren ha retningsvektoren med komponenter og så videre. Hvis nå for eksempel vil feltet forbli uforandret.[4]
Fourier-komponentene i denne fremstillingen er generelt komplekse, men oppfyller da feltet er reelt. Det kan benyttes til å uttrykke den elektromagnetiske feltenergien ved disse komponentene. Da det elektriske feltet nå tar formen
hvor blir det elektriske bidraget til denne gitt ved integralet
Her er gjort bruk av ortonormeringen
som igjen følger fra det 1-dimensjonale integralet
som opptrer her ved bruk av periodiske grensebetingelser og kan uttrykkes ved et Kronecker-delta på høyre side. Av samme grunn kan summen over alle mulige bølgevektorer erstattes med integralet
når volumet V blir veldig stort.
Magnetisk bidrag
Det tilsvarende bidraget til feltenergien fra magnetfeltet
blir på lignende måte
når man benytter den transverse gaugebetingelsen som betyr at Summen av de elektriske og magnetiske bidragene til den fri feltenergien tar dermed den endellige formen
Gaugebetingelsen betyr at Fourier-komponenten ligger I et plan som står vinkelrett på bølgevektoren k. Det er derfor hensiktsmessig å innføre to ortogonale «polarisasjonsvektorer» De kan i alminnelighet være komplekse og kan normeres som
Sammen med enhetsvektoren danner de et fullstendig sett av vektorer i det 3-dimensjonale rommet. De har derfor den spesielle egenskapen
Hver Fourier-komponent av vektorfeltet kan nå i denne basisen splittes opp i to komplekse vektorkomponenter
slik dat hele feltenergien tar formen
Her beskriver hvert ledd i den doble summen energien til en 2-dimensjonal harmonisk oscillator da utslaget til denne er en kompleks størrelse.
Polarisasjonsindeksen λ kan ta to verdier tilsvarende de to retningene feltvekktoren kan ha i forhold til bølgevektoren k. Hvis denne er i en retning z, kan det elektriske feltet ha en retning langs x- eller y-aksen. Disse to retningene er beskrevet ved polarisasjonsvektorene ex og ey. Bølgen er da «lineært polarisert». Derimot er sirkulær polarisasjon beskrevet ved de komplekse vektorene
tilsvarende høyrevridd (R ) og venstrevridd (L ) polarisasjon. Begge vektorene står vinkelrett på bølgevektoren k, men går over i hverandre når denne skifter retning.[4]
Feltkvantisering
I den elektromagnetiske feltenergien har komponenten en konjugert impuls som også er kompleks. Den konjugerte impulsen til det magnetiske vektorpotensialet A er derfor det elektriske feltet E. Kvantisering kan nå gjennomføres ved å la disse to variable bli operatorer og som oppfyller de kanoniske kommutatorene
for uendelig mange, kvantiserte «strålingsoscillatorer». Egenverdiene til operatorene finnes på vanllig måte ved å innføre kreasjon og annihilasjonsoperatorer definert ved
De kanoniske kommutatorene tar nå formen
Derfor er en annihilasjonsoperator, mens er en tilsvarende kreasjonsoperator som skaper et ekstra kvant i en elektromagnetiske mode (k,λ). Det totale antall kvant i denne moden er gitt ved egenverdien tii antallsoperatoren som kan være 0, 1, 2 og så videre.[4]
Energi og impuls
Ved hjelp av disse nye stigeoperatorene tar nå Hamilton-operatoren for stråliingsfeltet formen
På denne måten er det klart at den kvantemekaniske beskrivelsen av elektromagnetisk stråling er matematisk ekvivalent med et system av uendelige mange harmoniske oscillatorer.
Klassisk teori viser at elektromagnetiske bølger utøver et strålingstrykk. Det skyldes en fluks av impuls som kan finnes fra en utvidelse av Poyntings teorem, og har en tetthetD × B = ε0E × B. Dermed er den totale impulsen i feltet gitt ved
Vektorproduktet kan her forenkles ved bruk av gaugebetingelsen Etter å ha innført komponentene av feltet langs de to polarisasjonsvektorene, blir den kvantemekanisk impulsoperatoren
etter å ha latt i den siste summen etterfulgt av et ombytte av de to operatorene.
Fotontilstander
Egentilstander for både energi og impuls kan konstrueres ved bruk av kreasjonsoperatorene til feltet på samme måte som for den éndimensjonale oscillatoren. Den laveste tilstanden eller «grunntilstanden» inneholder ingen kvant og må derfor oppfylle
Energien til denne tomme tilstaden er ikke null, men
Denne summen er divergent eller uendelig stor da feltet inneholder uendelig mange oscillatorer. Men under andre forhold der utstrekningen til feltet er begrenset på en eller annen måte, kan en slik divergent sum likevel gi et endelig svar. Dette fenomenet omtales som Casimir-effekt og er blitt eksperimentelt påvist på mange forskjellige måter.[5]
Tilstanden med ett kvant i moden (k, λ) er nå
Den har energi og impuls Da er Det betyr at dette kvantet er en masseløs partikkel som i dag bærer navnet foton.[3]
En generell tilstand med foton i denne moden blir nå
Tilstanden er éntydig gitt ved antallet av fotoner med samme kvantetall (k,λ) den inneholder. Ingen andre kjennemerker finnes for å skille dem fra hverandre og de må betraktes som identiske partikler. Da det ikke er noen begrensninger på hvor mange fotoner tilstanden kan inneholde, er de derfor bosoner og adlyder Bose-Einstein statistikk.
Ved bruk av en senkeoperator kan antall foton i tilstanden forandres på den måten at
De forskjellige kvantetilstandene har en tidsutvikling som er gitt ved Schrödinger-ligningen, mens operatorene forblir de samme. På den måten har man en beskrivelse av systemet i Schrödinger-bildet. Derimot er kvantisert feltteori vanligvis mest hensiktsmessig fremstilt i Heisenberg-bildet der tilstandene forblir uforanderlige, mens operatorene varierer med tiden. De følger da bevegelsesligningene som for annihilasjonsoperatorene gir
eller
Sammen med resultatet for den tilsvarende kreasjonsoperatoren har man da for Forurier-komponenten
Det betyr at det kvantiserte vektorpotensialet tar den endelige formen
i Heisenberg-bildet. Denne operatoren viser tydelig bølge-partikkel-dualiteten i beskrivelsen av et foton med kvantetallene (k,λ). Feltoperatoren som beskriver skapelse og annihilasjon av denne partikkelen, er den klassiske bølgen hvor amplituden er blitt en stigeoperator.[6]
Historisk tilbakeblikk
Denne forståelsen av det elektromagnetiske feltet kan føres helt tilbake til Max Planck da han i 1900 oppdaget sin lov for sort stråling. Den kom han frem til ved å anta at strålingen var i kontakt med materielle partikler som bare kunne avgi eller motta energi i diskrete kvant. Selve strålingen mente han måte beskrives klassisk som et kontinuerlige felt styrt av Maxwells ligninger. Det var Einstein som ved studier i 1905 av den fotoelektriske effekten kom frem til at energikvantene måtte betraktes som partikler eller fotoner i selve strålingen. En av de første som beskrev denne som harmoniske oscillatorer, var Peter Debye noen få år senere. Men det var først ved etableringen av den nye kvantemekanikken i 1925 og arbeidene til Pascual Jordan og Paul Dirac at den endelige, kvantefeltteoretiske formuleringen ble utarbeidet.[7]
Transvers fotonpropagator
I klassisk elektrodynamikk beregnes kobling av feltet til eksterne, elektriske strømmer ved hjelp av de retarderte løsningene av bølgeligningen. Disse er gitt ved Green-funksjon som tilfredsstiller spesielle grensebetingelser. Den tilsvarende, kvantemekaniske koblingen er også gitt ved en Green-funksjon, men med andre grenebetingelser først formulert ved Richard Feynman. Denne kalles vanligvis for en propagator til fotonet da den beskriver dets bevegelse.[4]
Ved valg av Coulomb-gaugen er opptrer fotonet som et kvant for det transverse vektorfeltet A(x,t). På samme måte som for andre felt defineres propagatoren ved vakumforventningsverdien av et tidsordnet produkt av feltoperatoren i to forskjelige punkt. Det blir nå
Når det elektromagnetiske feltet er koblet til materie, kan det beskrives ved Maxwells ligninger som inkluderer deres ladniingtetthet ρ = ρ(r,t). og strømtetthet J = J(r,t). Ligningene følger fra Hamiltons virkningsprinsipp basert på den fundamentale Lagrange-tettheten
hvor nå det elektriske potensialetΦ = Φ(r,t) opptrer i tillegg til det magnetiske vektorpotensialet A. De to siste leddene beskriver vekselvirkningen mellom felt og materie.[2]
Kvantisering av denne vekselvirkende teorien kan igjen gjennomføres ved å utvikle alle feltene i Fourier-rekker med periodise grensebetingelser. Det gir for den totale Lagrange-funksjonen
hvor hver Fourier-komponent er kompleks, men slik at og det samme for de andre. Den første summen L0 representerer Lagrange-funksjonen for det elektromagnetiske feltet, mens den andre L1 angir dets kobling til de materielle partiklene i systemet. Deres dynamikk må beskrives ved enda en Lagrange-funksjon som avhenger av som de beveger seg relativistisk eller ikke.
Fourier-komponenten til det elektriske feltet innehholder nå to ledd
mens for det magnetiske feltet er den Med den transverse gaugebetingelsen tar Lagrange-funksjonen følgelig formen
Her er de uavhengige feltvariable vektorkomponentene og de skalare
Feltligninger
Den tidsderiverte av skalarpotensialet opptrer ikke i Lagrange-funksjonen slik at det er ikke virkelig en dynamisk variabel. En variasjon gir nå direkte bevegelsesligningen
Dette er Gauss' lov på komponentform. I denne transverse gaugen kan skalarpotensialet dermed uttrykkes direkte ved ladningstettheten til ladningene som uttrykt ved Coulombs lov. Av denne grunn sies derfor denne Lagrange-funksjonen å være i Coulomb-gauge.
På tilsvarende måte gir variasjonen av vektorpotensialet opphav til bevegelsesligningen
Den kan også betraktes som Ampères sirkulasjonslov på komponentform. På høyre side opptrer den tranverse strømkomponenten da Dette er i overensstemmelse med bølgeligningen for vektorpotensialet i Coulomb-gauge. Den viser også at med dette gaugevalget har hver feltkomponent samme dynamikk som en drevet, harmonisk oscillator når feltet er koblet til materielle partikler.[6]
Hamilton-funksjoner
En kvantemekanisk beskrivelse av dette vekselvirkende er basert på dets Hamilton-operator. Den finnes fra den klassiske Hamilton-funksjonen. For feltet kan den avledes fra Lagrange-funksjonen ved først å bestemme den konjugerte impulsen til feltkomponenten Den er nå
som for det frie feltet. Den klassiske Hamilton-funksjonen for den elektromagnetiske delen av systemet blir dermed
Her er Hamilton-funksjonen for det frie feltet og
angir dets vekselvirkning med de materielle partiklene. I denne Coulomb-gaugen skjer det gjennom det siste leddet hvor det transverse vektorpotensialet kobler til den elektriske strømmen skapt av partiklene i systemet. Det første leddet skyldes Coulomb-vekselvirkningen mellom disse partiklene.[6]
Kvantisering av feltet kan nå gjøres som for det frie feltet ved et bestemt tidspunkt som vanligvis velges å være t = 0. Men den videre tidsutvikling kan ikke lenger beregnes fordi feltet også inngår i vekselvirkningen
For en fullstendig kvantisering av hele systemet, må også beskrivelsen av partiklene kvantiseres. Den må på samme vis ta utgangspunkt i en tilsvarende Lagrange-funksjon. For relativistiske partikler må man benytte kvantefelt tilsvarende Klein-Gordon-ligningen for bosoner eller Dirac-ligningen for fermioner. Når bevegelsen til partiklene derimot er ikke-relativistisk, kan man beskrive dem ved vanlig kvantemekanikk som ligger til grunn for Schrödinger-ligningen.[8]
Ikke-relativistiske partikler
Ved lave energier kan man beskrive partiklene i systemet som «punktpartikler», det viil si uten utstrekning. Hver av dem følger da klassisk en bane og med hastighet Hvis denne partikkelen også har en elektrisk ladning vil de til sammen gi opphave til en total ladningstetthet og strømtetthet gitt som
Fourier-komponenten av ladningstettheten blir derfor i dette tilfellet
Dermed kan Lagrange-funksjonen for disse ikke-relativistiske partiklene nå skrives som
Det første leddet er deres kinetiske energi, og det andre angir koblingen til de transverse komponentene av strålingsfeltet. Vekselvirkningen mellom partiklene får også et direkte bidrag fra det siste leddet. I grensen hvor volumet V blir veldig stort, kan summen over bølgevektoren k erstattes med et integral som er av samme form som opptrer i Yukawa-potensialet,
Ved å bruke dette integralet for κ = 0 tar Lagrange-funksjonen for partiklene den endelige formen
Det tredje leddet er en Coulomb-vekselvirking mellom par av partikler. Den skjer instantant da den bruker ingen tid til å formidles fra den ene til den andre partikkelen. Ved første blikk kan dette virke i konflikt med den spesielle relativitetsteori, men kombinert med vekselvirkningen fra de transverse fotonene forsvinner dette problemet. Ved bruk av den kovariante fotonpropagatoren i Lorenz-gauge kombineres disse to bidragene automatisk og gir hele vekselvirkningen som skyldes utveksling av ett foton, mellom to partikler i bevegelse.
For kvantiseringen av partiklene behøves deres kanoniske impuls,
Deres Hamilton-funksjon ved tiden t = 0 blir dermed
Basert på disse klassiske Hamilton-funksjonene kan Hamilton-operatoren etableres for hele systemet av vekselvirkende partikler og kvantisert stråling. Den vil da bestå av en del som beskriver frie partikler og fotoner pluss en del som inneholder deres vekselvirkninger. Koblingene skyldes ved dette gaugevalget en direkte Coulomb-vekselvirkning pluss utveksling av fotoner mellom dem beskrevet ved den transverse fotonpropagatoren. Bortsett fra noen svært få, spesielle tilfeller kan ikke dette systemet løses eksakt. Man må i stedet benytte perturbasjonsteori basert på at de elektriske ladningene til partiklene gir så svake koblinger at kun de laveste ordner av en slik perturbativ beskrivelse er nødvendig.[3]
Referanser
^abS.S. Schweber, QED and the Men Who Made It, Princeton University Press, New Jersey (1994). ISBN 0-691-03327-7.
^ab J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York (1998). ISBN 0-4713-0932-X.
^abcd W. Heitler, The Quantum Theory of Radiation, Oxford Universiity Press, England (1960).