Analiza dynamiczna jest analitycznym badaniem odpowiedzi (czyli zachowania się) układu mechanicznego poddanego działaniu wymuszenia (obciążenia) zmiennego w czasie[1]. Badanie takie jest możliwe tylko na podstawie konkretnego modelu obliczeniowego. Dla realnych układów mechanicznych zaproponowanie adekwatnego modelu jest jednak możliwe jedynie wtedy, gdy znane są rzeczywiste własności dynamiczne modelowanego obiektu. Można je określić tylko na podstawie odpowiednich pomiarów wykonanych na tym obiekcie.
Najczęściej stosowane w praktyce obliczeniowej są modele powstające w wyniku zastosowania dyskretnego opisu wszystkich (także nieliniowych) własności fizycznych badanych obiektów np. za pomocą metody elementów skończonych[2][3].
Model dyskretny
Najbardziej uniwersalnym podejściem do analizy dynamicznej jest budowa liniowego modelu dyskretnego o skończonej liczbie stopni swobody[1][4]. Model taki wykorzystywany jest powszechnie w metodach takich jak np. metoda elementów skończonych. Istota tego modelu polega na opisaniu pola przemieszczeń kontinuum w sposób przybliżony, za pomocą prostych funkcji np. wielomianów zbudowanych na bazie parametrów przypisanych węzłom dostatecznie gęstej siatki dzielącej kontinuum na elementy o skończonych rozmiarach (elementy skończone)[2]. Dzięki temu stan przemieszczenia w takim modelu może być jednoznacznie opisany za pomocą wektora
o skończonej liczbie współrzędnych mających interpretację przemieszczeń węzłowych. W takiej interpretacji na węzły układu działają siły czynne
– sprężystości,
– tłumienia,
– bezwładności,
gdzie przez K, C i M oznaczono macierze o rozmiarach
odpowiednio: sztywności, tłumienia i bezwładności.
Na podstawie równania (ruchu) równowagi w sensie d’Alemberta
![{\displaystyle K{\vec {Q}}(t)+C{\dot {\vec {Q}}}(t)+M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+{\vec {P}}(t)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5399feb0abf11ee0565f7df23a08e0baf72ef0c)
otrzymujemy
![{\displaystyle M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+C{\dot {\vec {Q}}}(t)+K{\vec {Q}}(t)={\vec {P}}(t).\qquad \qquad {\text{(a)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf4d14c9bc93d8a3ec13a5ed1f2a8daf0b3971f5)
Równanie (a) stanowi podstawę analizy dynamicznej.
Całkowanie równania ruchu
Podstawowym celem analizy dynamicznej jest obliczanie odpowiedzi
modelu na działające wymuszenie
Poza nielicznymi przypadkami szczególnymi, kiedy można uzyskać ścisłe rozwiązanie analityczne, odpowiedź musi być liczona numerycznie[1]. Istnieje wiele algorytmów numerycznego całkowania równania ruchu. W każdym z tych algorytmów operuje się odpowiednimi aproksymacjami funkcji
bądź też
Najczęściej stosowane algorytmy ogólne, umożliwiające obliczenia odpowiedzi również w przypadkach nieliniowych, działają na zasadzie krok-po-kroku. I tak na przykład przy całkowaniu z krokiem
równania
![{\displaystyle {\ddot {\vec {Q}}}(t)={\vec {f}}[t,\ {\vec {Q}}(t),{\dot {\vec {Q}}}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bedcea0c1949d8d31a15ae1e0528bf09006493e)
metodą QDAMN stosuje się przekształcenie
![{\displaystyle {\ddot {\vec {Q}}}=M^{-1}(t){\vec {f}}[t,\ {\vec {Q}}(t),{\dot {\vec {Q}}}(t)]={\vec {F}}[t,\ {\vec {Q}}(t),{\dot {\vec {Q}}}(t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e593880fa90ce4c5803dda727cda2977748df407)
i na podstawie warunków początkowych ruchu w chwili
![{\displaystyle {\vec {Q}}_{0},\quad {\dot {\vec {Q}}}_{0},\quad {\ddot {\vec {Q}}}_{0}={\vec {F}}[t_{0},\ {\vec {Q}}_{0},\ {\dot {\vec {Q}}}_{0}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78a8435b6615bc385a7e0a56808071d521554cef)
oblicza się pierwsze przybliżenie wartości rozwiązania w punkcie
![{\displaystyle {\ddot {\vec {Q}}}_{h}^{(1)}={\ddot {\vec {Q}}}_{0},\quad {\dot {\vec {Q}}}_{h}^{(1)}={\dot {\vec {Q}}}_{0}+h{\ddot {\vec {Q}}}_{0},\quad {\vec {Q}}_{h}^{(1)}={\vec {Q}}_{0}+h{\dot {\vec {Q}}}_{0}+{\frac {1}{2}}h^{2}{\ddot {\vec {Q}}}_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18c3e74499706332074b0bad961e0ffd9eb967ba)
Kolejne przybliżenia otrzymuje się iteracyjnie na podstawie wzorów rekurencyjnych dla
![{\displaystyle {\dot {\vec {Q}}}_{h}^{(k+1)}\!={\dot {\vec {Q}}}_{h}^{(k)}+\int \limits _{0}^{h}{\ddot {\vec {Q}}}^{(k)}(t)dt={\dot {\vec {Q}}}_{h}^{(k)}(t)+\int \limits _{0}^{h}{\vec {F}}[t,\ {\vec {H}}^{(k)}(t),\ {\dot {\vec {H}}}^{(k)}(t)],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/003b0dd34dcc8d8ece0da8242a3415868205953e)
![{\displaystyle {\vec {Q}}_{h}^{(k+1)}\!={\vec {Q}}_{h}^{(k)}+h{\dot {\vec {Q}}}_{h}^{(k)}+\int \limits _{0}^{h}\int \limits _{0}^{t}{\vec {F}}[t,\ {\vec {H}}^{(k)}(\tau ),\ {\dot {\vec {H}}}^{(k)}(\tau )]d\tau dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bb4c97e93077044d56a59f253ac19dbe7d40626)
![{\displaystyle {\ddot {\vec {Q}}}_{h}^{(k+1)}={\vec {F}}[t_{h},\ {\vec {Q}}_{h}^{(k+1)},\ {\dot {\vec {Q}}}_{h}^{(k+1)}],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d5a5a759d025e57ddd6d3243e8f5c8ea6b9a187)
w których przez
oznaczono interpolacyjne wielomiany Hermite’a piątego stopnia przybliżające funkcję
i jej pochodną
w przedziale
Każdy model układu drgającego, o n stopniach swobody, odznacza się pewnymi charakterystycznymi właściwościami dynamicznymi[2]. Okazuje się mianowicie, że może on wykonywać proste, pojedyncze drgania harmoniczne, ale tylko ze ściśle określonymi tzw. kołowymi częstościami drgań własnych
Częstości te tworzą widmo dyskretne
![{\displaystyle \Omega =(\omega _{1},\omega _{2},...\omega _{n}),\qquad \qquad \omega _{1}\leq \omega _{2}\leq ...\leq \omega _{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf3a31c310a99c1a06cb7639a1f451248c19195a)
Te pojedyncze drgania harmoniczne o postaci
![{\displaystyle {\vec {A}}_{i}\sin \omega _{i}t,\qquad i=1,\ 2,...\ n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a348e80cfb23728a033984ce2a7b52db527954)
są to tzw. drgania własne polegające na ruchu modelu określonym formą drgań własnych
![{\displaystyle {\vec {A}}_{i}=[A_{1i},\ A_{2i},...\ A_{ni}]^{T}\in \ R^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0217d04c09e09ec2efbeaf69b0cf46014e9c828)
opisującą konfigurację przestrzenną układu drgającego z częstością własną
Częstości
i formy drgań własnych
oblicza się na podstawie równania swobodnych drgań nietłumionych modelu
![{\displaystyle M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+K{\vec {Q}}(t)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273526eb435fa017677f75146776ed54396769c9)
Jego rozwiązania o postaci
![{\displaystyle {\vec {Q}}(t)={\vec {A}}_{i}\sin \omega _{i}t,\qquad {\text{dla}}\quad i=1,2,...n,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7afe2ebadcfef398b4ac762e77f77d30fbc0d9e0)
istnieją, gdy spełniony jest warunek
![{\displaystyle (-\omega _{i}^{2}M+K){\vec {A}}_{i}=0,\qquad {\text{dla}}\quad i=1,2,...n.\qquad \qquad {\text{(b)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539151e3b26d0b8d487287f3295f6560d362bdd4)
Istnienie nie zerowych rozwiązań
wymaga, aby było spełnione tzw. równanie wiekowe (sekularne) częstości.
![{\displaystyle Det\ (K-\omega _{i}^{2}M)=0\qquad {\text{dla}}\quad i=1,2,...n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d0cb70b38f45dda38fd782b8732e25817178e3)
Jego rozwiązania tworzą widmo częstości drgań własnych układu. Na podstawie znanych już
można poszukiwać rozwiązań
równania (b) określających formy drgań własnych. Mogą być one wyznaczone z dokładnością do stałego mnożnika.
Wykorzystując tożsamości
![{\displaystyle \omega _{i}^{2}{\vec {A}}_{k}^{T}M{\vec {A}}_{i}\equiv {\vec {A}}_{k}^{T}K{\vec {A}}_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a5590de4aac217bff6fb802a73973041c1c780b)
![{\displaystyle \omega _{k}^{2}{\vec {A}}_{i}^{T}M{\vec {A}}_{k}\equiv {\vec {A}}_{i}^{T}K{\vec {A}}_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0105314f7c4e6afc664d029dc09f4862dab049cd)
i dokonując transpozycji z wykorzystaniem symetrii macierzy M i K otrzymujemy przy założeniu, że
warunek ortogonalności form drgań własnych
![{\displaystyle {\vec {A}}_{i}^{T}M{\vec {A}}_{k}=0\quad {\text{dla}}\quad i\neq k,\qquad {\vec {A}}_{i}^{T}M{\vec {A}}_{i}=m_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e311b2ed9f3854045e9c084ddd0c152e1f5ec43e)
Jeżeli wprowadzimy nowe wektory (bazowe)
takie, że
to otrzymamy
![{\displaystyle m_{i}{\vec {U}}_{i}^{T}M{\vec {U}}_{i}=m_{i}\quad {\text{czyli}}\quad {\vec {U}}_{i}^{T}M{\vec {U}}_{i}=1.\qquad \qquad {\text{(c)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fa124ec976248204ae506558833664a78403329)
Po wprowadzeniu macierzy modalnej
otrzymujemy
i na podstawie (a) ![{\displaystyle U^{T}KU=diag\ (\omega _{1}^{2},\ \omega _{2}^{2},...\ \omega _{n}^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bccb48899d245870464858545363c4519a37b87)
gdzie przez
oznaczono macierz jednostkową.
Obliczenie częstości własnych
i odpowiadających im bazowych form własnych
kończy proces rozwiązywania problemu własnego drgającego modelu.
Dowolną formę drgań swobodnych i jej pochodną można teraz zapisać w postaci
![{\displaystyle {\vec {Q}}(t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}{\vec {U}}_{i}\sin(\omega _{i}t+\varphi _{i}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bdc6a76b3cf620aaa3df04a3bb07226ae825a4c)
![{\displaystyle {\dot {\vec {Q}}}(t)=\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\omega _{i}{\vec {U}}_{i}\cos(\omega _{i}t+\varphi _{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc7ab500eab47d423e0fd6cb067a19c2d9328b1)
Po wykorzystaniu (c) warunki początkowe ruchu
prowadzą do wzorów
![{\displaystyle {\vec {U}}_{i}^{T}M{\vec {Q}}(0)=\alpha _{i}\sin(\varphi _{i})=s_{i},\qquad {\vec {U}}_{i}^{T}M{\dot {\vec {Q}}}(0)=\alpha _{i}\omega _{i}\cos(\varphi _{i})=c_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3166857f38dbef02373de53483d0fa8cfd3ca9f)
Na ich podstawie otrzymujemy następujące wartości parametrów
- gdy
![{\displaystyle c_{i}\neq 0,\ s_{i}\neq 0:\quad \varphi _{i}=\arctan {\bigg (}\omega _{i}{\frac {s_{i}}{c_{i}}}{\bigg )},\quad \alpha _{i}={\frac {s_{i}}{\sin(\varphi _{i})}}={\frac {c_{i}}{\omega _{i}\cos(\varphi _{i})}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/186a01fa000cf3f444fe09ee11c2e38f1c23f89c)
- gdy
![{\displaystyle c_{i}=0:\quad \varphi _{i}={\frac {\pi }{2}},\quad \alpha _{i}=s_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b135c814603a0b01896e6ef46f09f768e3689f59)
- gdy
![{\displaystyle s_{i}=0:\quad \varphi _{i}=0,\quad \alpha _{i}={\frac {c_{i}}{\omega _{i}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfad0a02410ee2f9c660b9b406723e2b1f90c0bc)
- gdy
![{\displaystyle c_{i}=0,\ s_{i}=0:\quad \varphi _{i}\;\;{\text{jest nieokreślone,}}\quad \alpha _{i}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1b606e15b636888a7bf62381bcac31a56b45ef5)
Analiza modalna
Dysponowanie bazą form drgań własnych
pozwala zapisać dowolną formę drgań (swobodnych lub wymuszonych) w postaci
![{\displaystyle {\vec {Q}}(t)=U{\vec {G}}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4109fb476b31fce5cf3a0adba5471dbdf4c8f4aa)
przedstawiającej tę dowolną formę jako zmienną w czasie kombinację liniową unormowanych form drgań własnych tworzących bazę
Po podstawieniu tej reprezentacji do równania ruchu
![{\displaystyle M{\ddot {\vec {Q}}}(t)+C{\dot {\vec {Q}}}(t)+KU{\vec {Q}}(t)={\vec {P}}(t)\qquad \qquad {\text{(d)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23815d2bb4bcae3f8ba32b581e290dc4f9cc5bea)
otrzymujemy
![{\displaystyle MU{\ddot {\vec {G}}}(t)+CU{\dot {\vec {G}}}(t)+KU{\vec {G}}(t)={\vec {P}}(t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c06a564ce22642a14348172684a23a6ea7610b1)
Mnożąc lewostronnie przez
i uwzględniając związki (c) mamy
![{\displaystyle {\ddot {\vec {G}}}(t)+\Gamma {\dot {\vec {G}}}(t)+\Omega ^{2}{\vec {G}}(t)=U^{T}{\vec {P}}(t)={\vec {F}}(t),\qquad \qquad {\text{(e)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ece0b77cc00f792ce608ba102f63de1dff72b2e)
gdzie
W celu sprowadzenia macierzy
do postaci diagonalnej najczęściej stosuje się przyjęcie, że
dzięki któremu macierz
przybiera postać
![{\displaystyle \Gamma =U^{T}CU=U^{T}(\beta M+\delta K)U=\beta I+\delta \Omega ^{2}=diag\ [\gamma _{1},\ \gamma _{2},...\ \gamma _{n}],\quad \gamma _{i}=\beta +\delta \omega _{i}^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23b33c46f2964b13468a4f03b146c09e6977438f)
Dzięki tym zabiegom wektorowe równanie ruchu (d) rozpada się na n niezależnych równań skalarnych
![{\displaystyle {\ddot {G}}_{i}(t)+\gamma _{i}{\dot {G}}_{i}(t)+\omega _{i}^{2}G_{i}(t)=F_{i}(t),\quad \;F_{i}(t)={\vec {U}}_{i}^{T}{\vec {P}}(t).\qquad \qquad {\text{(f)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39c45f025c776147934083d1e85020b4ad65aabb)
Gdy wymuszenie ma postać modalną
wówczas mamy
![{\displaystyle {\vec {F}}(t)=U^{T}{\vec {P}}(t)=U^{T}M{\vec {U}}_{k}R(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44b77d4e126cb97260dfc582f13dc8285b09eb49)
czyli
gdy ![{\displaystyle i\neq k.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d058a4caa3c9eabe9b5d5168840a28f89ee973d6)
Tylko taka, modalna postać wymuszenia, może wywołać drgania (modalne) opisane pojedynczą, k-tą formą drgań własnych.
Każda z funkcji
opisuje udział (modalny) i-tej formy drgań własnych
w odpowiedzi
modelu.
Poszczególne równania (f) można, w prostych przypadkach wymuszeń, rozwiązywać analitycznie bądź też w przypadkach złożonych stosować całkowanie numeryczne. Istotne ułatwienie stanowi fakt, że są to niezależne od siebie równania skalarne. Każda z funkcji modalnych
występuje tylko w jednym i-tym równaniu i jej obliczenie przebiega tak jak dla tłumionego oscylatora harmonicznego.
W przypadku szczególnym, gdy model poddany jest wymuszeniu harmonicznemu z częstością kołową
![{\displaystyle {\vec {P}}(t)={\vec {P}}_{s}\sin \theta t+{\vec {P}}_{c}\cos \theta t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3fb756e6a1b6651b0800bb335af43e6f817f3e8)
mamy
![{\displaystyle F_{i}(t)={\vec {U}}_{i}^{T}{\vec {P}}(t)=F_{is}\sin \theta +F_{ic}\cos \theta .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0f395c2afe0d8dbae5e59ec3b8d95835d0e214e)
Rozwiązanie równania (e) o postaci
![{\displaystyle G_{i}(t)=G_{is}\sin \theta +G_{ic}\cos \theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce227e9481ffd43357fcc9046701113e97142a62)
zostaje, po podstawieniu funkcji
do (e), określone w sposób następujący
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}G_{is}\\G_{ic}\end{bmatrix}}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{bmatrix}\omega _{i}^{2}-\theta ^{2}&-\theta \gamma _{i}\\\theta \gamma _{i}&\omega _{i}^{2}-\theta ^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}F_{is}\\F_{ic}\end{bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbb6bdfc0f21b6c6f27beb3284524e58e98e9ccd)
gdzie:
![{\displaystyle \Delta =(\omega _{i}^{2}-\theta ^{2})^{2}+(\theta \gamma _{i})^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c688ab1180d34df8004f42d328bf867bfbf1eb)
W przypadku rezonansu tłumionego na częstości
otrzymujemy
![{\displaystyle G_{is}=-\;{\frac {1}{\theta \gamma _{i}}}F_{ic},\quad G_{ic}={\frac {1}{\theta \gamma _{i}}}F_{is}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baadd95142b2cadb4f868d030787cd8eaca8e29)
Gdy
odpowiedź określają wzory
![{\displaystyle G_{is}={\frac {1}{\omega _{i}^{2}-\theta ^{2}}}F_{is},\quad G_{ic}={\frac {1}{\omega _{i}^{2}-\theta ^{2}}}F_{ic}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31b49d58a896863c5cdef770e26ddd73fa646c86)
opisujące zjawiska rezonansowe na częstościach
Zobacz też
Przypisy
- ↑ a b c B.Olszowski, M.Radwańska, Mechanika budowli, t. 1-2, Politechnika Krakowska, Kraków 2010
- ↑ a b c J.Kruszewski i inni, Metoda elementów skończonych w dynamice konstrukcji, Warszawa 1984, Arkady
- ↑ J.Kruszewski i inni, Metoda sztywnych elementów skończonych, Warszawa 1975, Arkady
- ↑ W.Nowacki, Dynamika budowli, Arkady, Warszawa 1974
Kontrola autorytatywna (analiza):
- LCCN: sh85129216
- GND: 4112679-8
- NKC: ph135047
- J9U: 987007541328905171