Grupa z operatorami

Grupa z operatorami lub Ω {\displaystyle \Omega } -grupa – struktura algebraiczna będąca grupą wraz ze zbiorem endomorfizmów grupowych.

Grupy z operatorami były studiowane dogłębnie przez Emmy Noether i jej szkołę w latach 20. XX wieku. Użyła ona tego pojęcia w jej oryginalnym sformułowaniu trzech twierdzeń o izomorfizmie.

Definicja

Grupa z operatorami ( G , Ω ) {\displaystyle (G,\Omega )} to grupa G {\displaystyle G} z rodziną funkcji Ω : {\displaystyle \Omega {:}}

ω : G → G , ω ∈ Ω , {\displaystyle \omega \colon G\to G,\quad \omega \in \Omega ,}

które są rozdzielne względem działania grupowego. Ω {\displaystyle \Omega } nazywana jest dziedziną operatorów, a jego elementy nazywane są homotetiami G . {\displaystyle G.}

Obraz elementu g {\displaystyle g} grupy przy funkcji ω {\displaystyle \omega } oznacza się g ω . {\displaystyle g^{\omega }.} Rozdzielność może być wtedy wyrażona jako

∀ ω ∈ Ω ∀ g , h ∈ G ( g h ) ω = g ω h ω . {\displaystyle \forall _{\omega \in \Omega }\;\forall _{g,h\in G}\;(gh)^{\omega }=g^{\omega }h^{\omega }.}

Podgrupa S {\displaystyle S} grupy G {\displaystyle G} nazywana jest podgrupą stabilną, ω {\displaystyle \omega } -podgrupą lub podgrupą Ω {\displaystyle \Omega } -niezmienniczą, o ile zachowuje homotetie, tj.

∀ s ∈ S ∀ ω ∈ Ω s ω ∈ S . {\displaystyle \forall _{s\in S}\;\forall _{\omega \in \Omega }\;s^{\omega }\in S.}

Uwagi teoriokategoryjne

W teorii kategorii grupa z operatorami może być zdefiniowana jako obiekt kategorii funktorów G r p M , {\displaystyle \mathbf {Grp_{M}} ,} gdzie M {\displaystyle \mathbf {M} } jest monoidem (tzn. kategorią z jednym obiektem), a G r p {\displaystyle \mathbf {Grp} } oznacza kategorię grup. Ta definicja jest równoważna poprzedniej.

Grupa z operatorami jest także odwzorowaniem

Ω → End G r p ⁡ ( G ) , {\displaystyle \Omega \to \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G),}

gdzie End G r p ⁡ ( G ) {\displaystyle \operatorname {End} _{\mathbf {Grp} }(G)} jest zbiorem endomorfizmów grupowych G . {\displaystyle G.}

Przykłady

  • Dla danej grupy G {\displaystyle G} struktura ( G , ∅ ) {\displaystyle (G,\varnothing )} jest w sposób trywialny grupą z operatorami,
  • Dla danego R {\displaystyle R} -modułu M {\displaystyle M} grupa R {\displaystyle R} działa na dziedzinie operatorów M {\displaystyle M} przez mnożenie przez skalar. Dokładniej: każda przestrzeń liniowa jest grupą z operatorami.

Zobacz też

Bibliografia

  • Bourbaki, Nicolas: Elements of Mathematics: Algebra I Chapters 1-3. Springer-Verlag, 1998. ISBN 3-540-64243-9.