Hipoteza Elliotta-Halberstama jest problemem otwartym teorii liczb. Hipoteza, nazwana po Peterze D.T.A. Elliocie i Heinim Halberstamie, dotyczy szacowania ilości liczb pierwszych występujących w ciągach arytmetycznych. Treść hipotezy została sformułowana po raz pierwszy w 1968 r.[1]
Hipoteza należy do dziedziny teorii sit. Jej prawdziwość miałaby ogromny wpływ na postępy w ustalaniu najmniejszej różnicy występującej między liczbami pierwszymi nieskończenie wiele razy.
Treść hipotezy
Niech
oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze, a
oznacza funkcję liczącą liczby pierwsze w ciągu arytmetycznym
Oznaczmy
gdzie
oznacza największy wspólny dzielnik liczby
i
a
to tocjent Eulera. Wówczas dla każdej stałej
i stałej
zachodzi zależność
dla
i wszystkich
(przy czym stała uwzględniona w notacji dużego O zależy jedynie od
i
).
Modyfikacje i znane wyniki
Treść hipotezy, dla ustalonej stałej
zwykle bywa skracana do
[2].
została udowodniona dla wszystkich
przez Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa (wynik ten znany jest powszechnie jako twierdzenie Bombieriego-Winogradowa). Dodatkowo wiadomo, że
dla
nie jest prawdziwa.
Motohashi-Pintz-Zhang
Yoichi Motohashi, János Pintz i Zhang Yitang zaproponowali i, w szczególnych przypadkach, udowodnili hipotetyczną zależność
gdzie
a
oznacza zbiór liczb bezkwadratowych o dzielnikach pierwszych w
Dodatkowo przyjmujemy
tzn. pomijamy maksimum występujące w pierwotnej hipotezie, ale pozwalamy, aby klasa reszt
była zależna od
pod warunkiem, że
gdzie
tzn.
to iloczyn wszystkich liczb pierwszych w
Powyższa hipoteza, znana w literaturze jako szacowanie Motohashiego-Pintza-Zhanga, dla ustalonych
i
bywa zapisywana skrótowo jako
[2]. Wiadomo, że
jest prawdą dla
takich, że
[2].
Uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama
Niech
oznacza liczbę dodatnich dzielników całkowitych liczby
Dodatkowo, niech
będą wartościami zależnymi od
takimi, że
i
oraz
dla
gdzie
i
oznaczają notację asymptotyczną.
Załóżmy, że funkcje
i
różne od 0 spełniają zależności
oraz
gdzie
oznaczają pewne stałe. Załóżmy dodatkowo, że
spełnia ograniczenie typu Siegela-Walfisza,
dla dowolnych
oraz
Oznaczmy
Wówczas
dla
gdzie
oznacza splot Dirichleta funkcji
i
Powyższą treść zwykle zapisuje się jako
(z ang. generalised Elliott-Halberstam conjecture), a ogólne sformułowanie „uogólniona hipoteza Elliotta-Halberstama” dotyczy prawdziwości
dla wszystkich
[2].
Wiadomo, że
jest prawdziwa dla
jako uogólnione twierdzenie Bombieriego-Winogradowa[3].
Znaczenie hipotezy
Hipoteza Elliota-Halberstama – zarówno pierwotna, jak i uogólniona – mają ogromny wpływ na wyniki dotyczące różnic między liczbami pierwszymi.
Oznaczmy
gdzie
oznacza
-tą liczbę pierwszą.
Znane są następujące wyniki[2].
| (wykazane bezwarunkowo) | (zakładając hipotezę EH) | (zakładając GEH) |
1 | 246 | – | 6 |
2 | 398 130 | 270 | 252 |
3 | 24 797 814 | 52 116 | – |
4 | 1 431 556 072 | 474 266 | – |
5 | 80 550 202 480 | 4 137 854 | – |
| | | – |
Przypisy
- ↑ JieJ. Wu JieJ., Elliott-Halberstam conjecture and values taken by the largest prime factor of shifted primes, „Journal of Number Theory”, 206, 2020, s. 282–295, DOI: 10.1016/j.jnt.2019.06.015, ISSN 0022-314X [dostęp 2023-08-19] .
- ↑ a b c d e DHJD. Polymath DHJD., Variants of the Selberg sieve, and bounded intervals containing many primes, „Research in the Mathematical Sciences”, 1 (1), 2014, DOI: 10.1186/s40687-014-0012-7, ISSN 2197-9847 [dostęp 2023-08-19] .
- ↑ YoichiY. Motohashi YoichiY., An induction principle for the generalization of Bombieri’s prime number theorem, „Proceedings of the Japan Academy, Series A, Mathematical Sciences”, 52 (6), 1976, DOI: 10.3792/pja/1195518296, ISSN 0386-2194 [dostęp 2023-08-19] .1 stycznia