Iloczyn Eulera, produkt Eulera (ang. Euler product) – sposób przedstawienia szeregu liczbowego w postaci nieskończonego iloczynu po liczbach pierwszych. W analitycznej teorii liczb jest to często wykorzystywana postać szeregu w dowodach różnych twierdzeń. Swoją nazwę bierze od Leonharda Eulera, który po raz pierwszy przedstawił go dla funkcji zeta Riemanna[1].
Definicja
Niech
będzie ograniczoną multiplikatywną funkcją arytmetyczną. Wówczas szereg Dirichleta
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25f3e3334514f5956bab8a8edb4d3f6d5c05ae55)
jest dla wszystkich
takich, że
równy
![{\displaystyle \prod _{p}\left(1+{\frac {f(p)}{p^{s}}}+{\frac {f(p^{2})}{p^{2s}}}+\ldots \right)=\prod _{p}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca1a5137f675a5bc3efddfb29e0733b932341d96)
gdzie
oznacza iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych. Ponadto, jeśli
jest całkowicie multiplikatywna, to występujące w iloczynie szeregi są geometryczne, a cały iloczyn ten jest równy
![{\displaystyle \prod _{p}\left(1-{\frac {f(p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2ef9649862a5fbd85fa465b188d87527632b7d)
Przykłady
Funkcja zeta Riemanna
Niech
będzie funkcją zeta Riemanna, zdefiniowaną jako
![{\displaystyle \zeta (s)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf47309fefd7d8b38291ba9bddc13d444daa044a)
dla dowolnej liczby zespolonej
przy
Wówczas[1]
![{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9c96f47c2b0d400ce70a8d4b1fb93c9732b9f0)
Z funkcją
związanych jest więcej iloczynów Eulera, które wykorzystywane są w dowodach twierdzeń korzystających z jej własności.
![{\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c337d59c321030290dc3524b52e6bd4fe871f42e)
gdzie
jest funkcją Liouville’a.
![{\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/764cd5c763fd90cfdc68640a894ff41b91118692)
oraz
![{\displaystyle {\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2597090277eb258eabbd75b1643e03bc7ed5e66)
gdzie
to funkcja Möbiusa.
Funkcje L Dirichleta
Funkcja zeta jest szczególnym przypadkiem o wiele szerszej klasy funkcji L Dirichleta. Niech
![{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe72c4aeff3ac5c5864f7978f57476cbd8d4aca)
gdzie
jest ustalonym charakterem Dirichleta przy danym module
a
jest dowolną liczbą zespoloną z
Wtedy[2]
![{\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/957364b8bab6ca052d2e19a110d6cd8c24b01845)
Przypisy
- ↑ a b Hugh L.H.L. Montgomery Hugh L.H.L., Robert C.R.C. Vaughan Robert C.R.C., Multiplicative Number Theory I, Cambridge University Press, 16 listopada 2006, s. 22, DOI: 10.1017/cbo9780511618314, ISBN 978-0-521-84903-6 [dostęp 2023-12-13] (ang.).
- ↑ Hugh L.H.L. Montgomery Hugh L.H.L., Robert C.R.C. Vaughan Robert C.R.C., Multiplicative Number Theory I, Cambridge University Press, 16 listopada 2006, s. 120, DOI: 10.1017/cbo9780511618314, ISBN 978-0-521-84903-6 [dostęp 2023-12-17] (ang.).
- LCCN: sh85045552
- GND: 4489294-9
- BnF: 12286484v
- SUDOC: 03169876X
- J9U: 987007557793905171