Kategoria przecinkowa

Kategoria przecinkowa – pojęcie używane w matematyce, w teorii kategorii.

Niech ${\displaystyle {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ będą kategoriami, a ${\displaystyle F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {C}},}$ ${\displaystyle G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}}$ funktorami, tj.

Wówczas kategorią przecinkową nazywamy kategorię ${\displaystyle (F\downarrow G),}$ w której:

• obiektami są trójki uporządkowane ${\displaystyle (A,f,B),}$ gdzie ${\displaystyle A\in Ob({\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle B\in Ob({\mathcal {B}})}$ oraz ${\displaystyle Mor({\mathcal {C}})\ni f:F(A)\to G(B);}$
• morfizmami ${\displaystyle (A,f,B)\to (A^{'},f^{'},B^{'})}$ są takie pary ${\displaystyle (a,b),}$ gdzie ${\displaystyle a:A\to A^{'}\in Mor({\mathcal {A}}),}$ ${\displaystyle b:B\to B^{'}\in Mor({\mathcal {B}}),}$ że poniższy diagram

jest przemienny. Przy czym morfizmami tożsamościowymi są ${\displaystyle {\textrm {id}}_{(A,f,B)}=({\textrm {id}}_{A},{\textrm {id}}_{B}),}$ a złożeniem morfizmów ${\displaystyle (a^{'},b^{'})\circ (a,b)}$ jest ${\displaystyle (a^{'}\circ a,b^{'}\circ b)}$ (o ile złożenia ${\displaystyle a^{'}\circ a,b^{'}\circ b}$ mają sens)^[1].

Jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {A}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {B}}=*,}$ tj. kategoria ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ma tylko jeden obiekt (oznaczany również ${\displaystyle *}$) oraz jeden morfizm (tj. morfizm tożsamościowy), to ${\displaystyle G(*)=C}$ dla pewnego ${\displaystyle C\in Ob({\mathcal {C}}).}$ W takim przypadku kategorię przecinkową nazywamy płatem kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ nad obiektem ${\displaystyle C}$ i oznaczamy ${\displaystyle {\mathcal {C}}/C.}$

Jeżeli zaś ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$ oraz ${\displaystyle {\mathcal {A}}=*,}$ to otrzymujemy kategorię nazywaną kopłatem kategorii ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ pod obiektem ${\displaystyle C}$ oznaczaną ${\displaystyle C/{\mathcal {C}}.}$

Gdy ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$ oraz ${\displaystyle F=G={\textrm {id}}_{\mathcal {C}},}$ to taką kategorię przecinkową nazywamy kategorią strzałkową i oznaczamy ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\to }}$^[1].

• Marek Zawadowski, Elementy teorii kategorii. Skrypt dla studentów Wydziału MIM UW.