Krańcowa stopa substytucji

Krańcowa stopa substytucji (ang. Marginal Rate of Substitution – MRS) – stosunek wymiany, przy którym konsument skłonny jest dokonać wymiany dobra X na dobro Y i na odwrót. Zależy od krzywych użyteczności osiąganych z konsumpcji danych dóbr i stanu posiadania.

Innymi słowy krańcowa stopa substytucji jest to stosunek przyrostu konsumpcji jednego dobra do ubytku konsumpcji innego (innych) – taki, że konsument nie zmienia osiąganej użyteczności i przy założeniu, że jego krzywa obojętności pozostaje niezmieniona.

Ponieważ zakładamy, że użyteczność osiągana z konsumpcji kolejnych porcji danego dobra jest malejąca, krańcowa stopa substytucji jest zawsze malejąca.

Bogusław Czarny i Ryszard Rapacki w swojej książce Podstawy ekonomii, KSS (MRS) dobra Y dobrem X określają jako „stosunek porcji dobra Y, z której konsument musi zrezygnować, aby niewielka dodatkowa porcja dobra X nie zmieniła oceny (użyteczności) jego koszyka, do tej właśnie porcji dobra X”.

Posługując się krzywą obojętności, zauważa się, że KSS (MRS) rośnie w miarę wzrostu wartości na osi odciętych X.

Formalna definicja

Dla ustalonego poziomu użyteczności u 0 {\displaystyle u_{0}} i funkcji użyteczności u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} krzywa obojętności zdefiniowana jest jako zbiór tych punktów ( x , y ) , {\displaystyle (x,y),} które spełniają warunek u ( x , y ) = u 0 . {\displaystyle u(x,y)=u_{0}.} Zakładając, że funkcja użyteczności u ( x , y ) {\displaystyle u(x,y)} jest różniczkowalna, otrzymujemy:

∂ u ∂ x d x + ∂ u ∂ y d y = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}dx+{\frac {\partial u}{\partial y}}dy=0,}

skąd:

d y d x | u = u 0 = − ∂ u / ∂ x ∂ u / ∂ y = − P x / P y . {\displaystyle \left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{u=u_{0}}=-{\frac {\partial u/\partial x}{\partial u/\partial y}}=-Px/Py.}

Wyrażenie po prawej stronie definiuje krańcową stopę substytucji. Z powyższego wzoru wynika, że jest ona równa nachyleniu stycznej do krzywej obojętności.

Przykładowa KSS (MRS)

Dla funkcji Cobba-Douglasa

U ( X , Y ) = A X a Y b , X , Y ⩾ 0 {\displaystyle U(X,Y)=AX^{a}Y^{b},X,Y\geqslant 0}
M R S = − a A X a − 1 Y b b A Y b − 1 X a = − a X a − 1 Y b b Y b − 1 X a = − P x / P y {\displaystyle MRS=-{\frac {aAX^{a-1}Y^{b}}{bAY^{b-1}X^{a}}}=-{\frac {aX^{a-1}Y^{b}}{bY^{b-1}X^{a}}}=-Px/Py}

Bibliografia

  • R. Preston McAfee: Introduction to Economic Analysis. ISBN 1-60049-000-X. (ang.).