Metryka Lévy’ego-Prochorowa
Metryka Lévy’ego-Prochorowa – metryka określona na rodzinie miar probabilistycznych w przestrzeni metrycznej. Została wprowadzona w 1956 r. przez sowieckiego matematyka Jurija Prochorowa jako uogólnienie metryki Lévy’ego.
Definicja
Niech będzie przestrzenią metryczną z σ-ciałem zbiorów borelowskich Ponadto niech będzie rodziną wszystkich miar probabilistycznych określonych na przestrzeni mierzalnej
Dla podzbioru zdefiniujmy epsilonowe otoczenie zbioru
gdzie jest kulą otwartą wokół o promieniu
Metryka Lévy’ego-Prochorowa to odległość pomiędzy dwoma miarami probabilistycznymi i na zdefiniowana jako
Jasne jest, że dla miar probabilistycznych zachodzi
Niektórzy autorzy opuszczają jedną z dwóch nierówności lub wybierają jedynie otwarty lub domknięty zbiór Jedna z nierówności implikuje drugą, a ale ograniczenie się jedynie do zbiorów otwartych może zmienić zdefiniowaną metrykę, jeśli nie jest przestrzenią polską.
Własności
- Jeśli jest przestrzenią ośrodkową, zbieżność miar w metryce Lévy’ego-Prochorowa jest równoważna słabej zbieżności miar. Zatem w tym przypadku z topologią słabej zbieżności jest metryzowalna, a metryką tą jest właśnie
- Przestrzeń metryczna jest ośrodkowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest ośrodkowa.
- Jeśli jest zupełna to jest zupełna. Ponadto jeśli wszystkie miary w mają ośrodkowy nośnik, wówczas zachodzi również odwrotna implikacja: jeśli jest zupełna, to jest zupełna. W szczególności jest to sytuacja, gdy jest ośrodkowa.
- Jeśli jest ośrodkowa i zupełna, wówczas podzbiór jest warunkowo zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jego domknięcie względem jest zwarte względem
- Jeśli jest ośrodkowa, to gdzie jest metryką Ky Fana, a oznacza rozkład zmiennej losowej [1][2].
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Dudley 1989 ↓, s. 322.
- ↑ Račev 1991 ↓, s. 159.
Bibliografia
- Billingsley, Patrick: Convergence of Probability Measures. Nowy Jork: John Wiley & Sons, Inc., 1999. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534. (ang.).
- R.M. Dudley: Real analysis and probability. Pacific Grove, Calif.: Wadsworth & Brooks/Cole, 1989. ISBN 0-534-10050-3. (ang.).
- Svetlozar T. Račev: Probability metrics and the stability of stochastic models. Chichester: Wiley, 1991. ISBN 0-471-92877-1. (ang.).