Model Blacka-Scholesa – matematyczny model rynku opisujący dynamikę cen instrumentów finansowych w czasie, służący do wyceny instrumentów pochodnych. Wyceniając opcje europejskie na rynku Blacka-Scholesa, otrzymuje się wzór Blacka-Scholesa. Praca zawierająca ten wzór została opublikowana przez Fishera Blacka i Myrona Scholesa w 1973 roku. Aksjomaty procesu cen, na których opiera się model zostały zaproponowane już w 1965 r. przez Paula Samuelsona. Udział w tworzeniu modelu miał również Robert C. Merton, dlatego model ten bywa też nazywany modelem Blacka-Scholesa-Mertona.
Model ten jest często wykorzystywany do wyceny z powodu swej prostoty. Założenia, na których się opiera są jednak mało realistyczne, przez co model w swojej klasycznej postaci niezbyt dobrze dopasowuje się do rynkowej rzeczywistości.
Model
Klasyczny model Blacka-Scholesa
Klasyczny model Blacka-Scholesa to model rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykowego (rachunku bankowego), którego cenę w chwili
oznaczamy
oraz instrumentu ryzykownego (akcji) o cenie w chwili
równej
Dokonujemy następujących założeń:
- Na rynku nie ma możliwości arbitrażu.
- Można bez ryzyka pożyczać i lokować dowolną ilość gotówki po tej samej, stałej stopie procentowej.
- Można handlować dowolną liczbą akcji, nawet niecałkowitą lub ujemną (dopuszczamy krótką sprzedaż).
- Nie ma kosztów transakcyjnych.
- Spółki nie wypłacają dywidend.
Zakładamy ponadto, że ceny instrumentów są procesami stochastycznymi na przestrzeni probabilistycznej
Proces cen akcji
spełnia następujące warunki:
jest stałą (znamy cenę akcji w chwili
), - dla każdego
(cena akcji jest w każdym momencie dodatnia), - dla każdych
zmienna
jest niezależna od
-ciała
tzn. stopa zysku z akcji w okresie od
do
nie zależy od zachowania się cen do momentu ![{\displaystyle t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea3ad87830a1055c7b85c04cf940cfd3b847ae6)
- dla każdych
zmienne
i
mają ten sam rozkład, tzn. rozkład stopy zysku z akcji w okresie od
do
zależy jedynie od długości tego okresu, - proces
ma ciągłe trajektorie.
Powyższe założenia implikują, że proces
jest rozwiązaniem stochastycznego równania różniczkowego:
![{\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/181e265d84b97dcec6a0ff2692152f04cf7c25a4)
gdzie
zaś
jest procesem Wienera.
Proces ceny rachunku bankowego, jako aktywa pozbawionego ryzyka spełnia
![{\displaystyle dB_{t}=rB_{t}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1312316a7180ff337752266cce898be40e317774)
gdzie
zaś
jest stopą procentową (kapitalizacja ciągła).
Powyższe równania można rozwiązać, otrzymując
![{\displaystyle B_{t}=e^{rt},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20500375630c14a53f4bf68666de47388226f1d8)
![{\displaystyle S_{t}=S_{0}e^{(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t+\sigma W_{t}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ed6e324078ce5f80f76846929a6181deacf8e5)
Ogólny model Blacka-Scholesa
Klasyczny model Blacka-Scholesa można uogólnić do modelu rynku złożonego z jednego instrumentu bezryzykowego o cenie
oraz
instrumentów ryzykownych o cenach
Walor bezryzykowy jest opisany stochastycznym równaniem:
przy czym ![{\displaystyle B_{0}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba6d4c0af1f595847b299c0236a916e6048b05e8)
Cena
-tej akcji spełnia równanie:
![{\displaystyle S_{0}^{i}>0,i=1,\dots ,d,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d5ba902c08dd438db97f0267d72702a0aa075f)
gdzie
jest
-wymiarowym procesem Wienera:
Zakładamy, proces stopy procentowej
jest procesem deterministycznym (nielosowym), proces dryfu
oraz proces dyfuzji
są progresywnie mierzalne i spełniają warunek regularności:
![{\displaystyle \int \limits _{0}^{T}(|r(t)|+\|\mu (t)\|+\|\sigma (t)\|^{2})dt<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96f2a08b33a0b4ea00701f12a19fb9664a7e846e)
Wycena w modelu Blacka-Scholesa
W klasycznym modelu Blacka-Scholesa instrumenty wycenia się, korzystając z równoważnej miary martyngałowej
o gęstości
![{\displaystyle {\frac {dP^{*}}{dP}}=\exp \left({\frac {r-\mu }{\sigma }}W_{T}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {r-\mu }{\sigma }}\right)^{2}T\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b28478f0bcb6d70cea4ff67d379c383f0fd4c0f8)
w której proces cen opisuje równanie stochastyczne
![{\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fffe6ad0a608d778e9ab9c2b1142bf5869cc0d0)
Z istnienia dokładnie jednej równoważnej miary martyngałowej wynika, że klasyczny model Blacka-Scholesa opisuje rynek pozbawiony możliwości arbitrażu i zupełny.
Cenę wypłaty w wysokości
następującej w chwili
wyliczamy w następujący sposób:
![{\displaystyle \Pi _{0}(X)=e^{-rT}\mathbb {E} _{P^{*}}(X),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bf7d21357aa208fbf330a1c47ecd247f755d5ef)
w szczególności, jeżeli wielkość wypłaty w chwili
zależy jedynie od ceny akcji
w chwili
tzn.
dla pewnej funkcji mierzalnej
cena tej wypłaty jest równa
![{\displaystyle \Pi _{0}(X)=e^{-rT}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f\left(S_{0}e^{\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)t+\sigma {\sqrt {t}}x}\right)e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98d02b037851735cedbca2fe94600284adfc5f78)
Podstawiając
lub
otrzymujemy wzory Blacka-Scholesa na wycenę europejskich opcji kupna i sprzedaży odpowiednio.
Równanie Blacka-Scholesa
W obliczeniach numerycznych często cenę instrumentu pochodnego w modelu Blacka-Scholesa wylicza się, rozwiązując pewne równanie różniczkowe cząstkowe, tzw. równanie Blacka-Scholesa. Okazuje się, że cena
na moment
instrumentu finansowego o wypłacie zależnej jedynie od ceny akcji w chwili
spełnia:
ze znanym warunkiem końcowym ![{\displaystyle V(S_{T},T).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54f1adaa082d571648f1434fb8137515115fe3a5)
Wyprowadzenie
Ze wzoru Itô otrzymujemy
![{\displaystyle dV(S_{t},t)=\left(\mu S_{t}{\frac {\partial V}{\partial S}}(S_{t},t)+{\frac {\partial V}{\partial t}}(S_{t},t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}(S_{t},t)\right)dt+\sigma S_{t}{\frac {\partial V}{\partial S}}(S_{t},t)dW_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32519a578bd67de57a0d06e02eec4683ead43c4d)
Konstruujemy w chwili
portfel w sposób następujący: pozycja krótka w jednym instrumencie pochodnym, pozycja długa w
Wartość tego portfela w chwili
to
![{\displaystyle \Pi _{s}=-V(S_{s},s)+{\frac {\partial V}{\partial S}}(S_{t},t)S_{s},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d41a2ad05f5c8d8b6b28f7a1c0885ed0b38f788)
stąd
![{\displaystyle d\Pi _{t}=-dV(S_{t},t)+{\frac {\partial V}{\partial S}}(S_{t},t)dS_{t}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1959868839050b228b879a838741e24da2dbe54e)
Wstawiamy znane wyrażenia na
otrzymując
![{\displaystyle d\Pi _{t}=-\left({\frac {\partial V}{\partial t}}(S_{t},t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}(S_{t},t)\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6bd3bc4d089d5b4482ea5454f107472a258054f)
Widzimy zatem, że proces ceny tak skonstruowanego portfela jest deterministyczny (zniknął człon zawierający
), zatem ten portfel jest pozbawiony ryzyka. Wobec założenia braku arbitrażu stopa zysku z tego portfela musi być równa rynkowej stopie bezryzykowej. Musi być zatem spełnione
![{\displaystyle d\Pi _{t}=r\Pi _{t}dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd1c9b499f7747b226b3ac8c5f0f1910117bab4)
co możemy przepisać jako
![{\displaystyle -\left({\frac {\partial V}{\partial t}}(S_{t},t)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S_{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}(S_{t},t)\right)dt=r\left(-V(S_{t},t)+{\frac {\partial V}{\partial S}}(S_{t},t)S_{t}\right)dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e501a7ca863827e76323ea89b6876cd687531884)
Redukując z obu stron człon
przenosząc na jedną stronę i porządkując, otrzymujemy równanie Blacka-Scholesa.
Aproksymacja za pomocą drzew dwumianowych
Klasyczny model Blacka-Scholesa można przybliżać za pomocą modeli dyskretnych, tzw. drzew dwumianowych. Ciąg modeli dwumianowych przybliżających model Blacka-Scholesa konstruuje się następująco:
- Dzielimy odcinek
na
równych części długości ![{\displaystyle \delta _{n}={\frac {T}{n}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8b64d874047953626b6b72d0c67efe2c6d36c32)
- Na każdym odcinku czasu przyjmujemy stopę procentową
![{\displaystyle r_{n}=e^{r\delta _{n}}-1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6510e7205f0eb263998a579a9d8367dee0459ca)
- Konstruujemy proces
w sposób następujący:
![{\displaystyle S_{0}^{(n)}=s_{0},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59450359eaf2ae328cbb69f47683a25d02fbaed6)
gdzie
zaś ![{\displaystyle p_{n}={\frac {e^{r\delta _{n}}-e^{-\sigma {\sqrt {\delta _{n}}}}}{e^{\sigma {\sqrt {\delta _{n}}}}-e^{-\sigma {\sqrt {\delta _{n}}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61dbc2cde4c05879de42bbb99a9cc628c61e07bf)
Wówczas proces
otrzymany poprzez liniową interpolację procesu
zbiega słabo w przestrzeni funkcji ciągłych na odcinku
do procesu
spełniającego
![{\displaystyle dS_{t}=rS_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d69f01c40e08da423986cc88777607f05da90e7)
![{\displaystyle S_{0}=s_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67dcbd066f4a595f09a3222627656e0cf3d8ffe0)
Oznacza to, że ceny Blacka-Scholesa wypłat zależnych jedynie od trajektorii ceny akcji, tzn. postaci
można przybliżać za pomocą skonstruowanych jak wyżej modeli CRR.
Kalibracja modelu
Jedynym nieznanym parametrem modelu jest współczynnik dyfuzji (zwany także zmiennością)
Do obliczenia zmienności można stosować dwie metody:
- metoda zmienności historycznej,
- metoda zmienności implikowanej.
Zmienność historyczna
Estymujemy parametr
z historycznych cen akcji. Z danych
gdzie
konstruujemy zmienne
![{\displaystyle U_{i}=\log {\frac {S_{t_{i}}}{S_{t_{i-1}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4fd8199dbe17485c6343108bbcb2ce5d8cbe2f2)
Z założenia postaci procesu
zmienne
mają rozkład
Jako estymator zmienności możemy więc przyjąć
![{\displaystyle {\hat {\sigma }}={\frac {1}{\sqrt {\tau }}}{\sqrt {{\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(U_{i}-{\bar {U_{i}}})^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7e5a049039325c3b54a5ba1fe9599ebe886c20f)
Problem z taką estymacją polega na tym, że należy brać duże
aby zmniejszyć błąd estymacji (który maleje proporcjonalnie do
), a jednocześnie dane nie mogą pochodzić ze zbyt długiego przedziału czasowego, gdyż badania empiryczne dowodzą, że zmienność nie jest stała w czasie.
Zmienność implikowana
Polega na wyczytaniu zmienności z notowań cen opcji europejskich przy użyciu wzoru Blacka-Scholesa na wycenę opcji. Wzór ten uzależnia cenę opcji od jej parametrów:
![{\displaystyle C=C(S_{0},T,K,\sigma ,r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75e2f36bb87c3ff79563029e7947412cf53a40a4)
gdzie:
– bieżąca cena akcji,
– czas do zapadalności,
– cena wykonania,
– zmienność,
– stopa procentowa pozbawiona ryzyka.
Istotne jest to, że jest to funkcja rosnąca ze względu na argument
zatem można ją odwrócić, tzn. dla danych
znaleźć wielkość
taką, że
![{\displaystyle C_{obs}=C(S_{0},T,K,\sigma _{imp},r),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62811fd43718763f20c413f9189ca9af522b2b1e)
gdzie
jest obserwowaną (rynkową) ceną opcji. Dla danych cen rynkowych opcji
jako wartość zmienności implikowanej dla rynku można przyjąć:
- ważoną średnią zmienności implikowanej dla poszczególnych opcji,
- rozwiązanie problemu optymalizacyjnego
![{\displaystyle \min _{\sigma }\sum _{i=1}^{n}(C_{i}-C(S_{0}^{i},T^{i},K^{i},\sigma ,r))^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39e465d8486cdd81ce87a488d8cca176a085602e)
Zaobserwowano, że zmienność implikowana nie jest stała dla wszystkich opcji, ale zależy od ceny wykonania
oraz czasu do zapadalności
Mając to na uwadze, dla ustalonego czasu zapadalności
szuka się funkcji
wyliczając wartość
w pewnych punktach
a następnie przeprowadzając interpolację (np. metodą vanna-volga) pomiędzy nimi.
Zobacz też
Bibliografia
- Fisher Black, Myron Scholes. The Pricing of Options and Corporate Liabilities. „Journal of Political Economy”. 81 (3). s. 637–654.
- Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2. Brak numerów stron w książce