Model Isinga – model matematyczny wykorzystywany w mechanice statystycznej do badań nad przejściami fazowymi. Został stworzony w roku 1920 przez Wilhelma Lenza jako model ferromagnetyka.
Definicja
Model Isinga opisany jest za pomocą układu dyskretnych zmiennych
(spinów), które przyjmują wartości +1 lub −1 zlokalizowane na każdym węźle sieci. Energia oddziaływania pary spinów przyjmuje jedną z dwóch wartości zależną od ich wzajemnej orientacji (zgodnej lub przeciwnej).
Hamiltonian modelu Isinga w zewnętrznym polu
Energię modelu Isinga uwzględniającego oddziaływania między spinami zlokalizowanych w najbliżej sąsiadujących węzłach oraz z zewnętrznym polem magnetycznym można przedstawić w postaci hamiltonianu
![{\displaystyle H=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218e4527e71b60bb19f809fe1289dd389498795c)
gdzie sumowanie w pierwszym członie odbywa się po wszystkich sąsiadujących ze sobą parach spinów zlokalizowanych w węzłach
Parametr
jest całką wymiany i przyjmuje następujące wartości zależne od charakteru oddziaływań między spinami
– ferromagnetyczne (ustawia spiny w jednym kierunku, przeciwnym do zewnętrznego pola),
– antyferromagnetyczne,
– para spinów nie oddziałuje ze sobą,
gdzie
jest energią spinu
w zewnętrznym polu magnetycznym.
Ścisłe rozwiązanie tego modelu dla przypadku jednowymiarowego uzyskał Ernst Ising w roku 1925. Układ dwuwymiarowy przy zerowym polu magnetycznym analitycznie rozwiązał Lars Onsager w roku 1944. Przypadek dwuwymiarowy w niezerowym polu zewnętrznym pozostaje nie rozwiązany (2011), czyli postać analityczna energii swobodnej dla 2D modelu Isinga w dowolnym zewnętrznym polu magnetycznym jest nadal nieznana.
Namagnesowanie
Określmy wartość namagnesowania
jako
![{\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6b9d26acdbe09b1a2ebd2966112cd5bc5269b7f)
przy czym ferromagnetyzm występuje, gdy
dla zerowego zewnętrznego pola magnetycznego.
Dla ferromagnetyzmu ma miejsce spontaniczne złamanie symetrii, tzn. w zerowym zewnętrznym polu magnetycznym układ sam wyróżnia jeden z kierunków.
Suma statystyczna w modelu Isinga
![{\displaystyle Z=\sum _{S_{1},S_{2},\dots ,S_{N}}\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee834c4314c3288b4f472ecf15e73281db013853)
(Aby obliczyć średnią z operatora A zależnego od
można dodać do hamiltonianu człon
a następnie obliczyć średnią i pochodną w granicy dla
zmierzającym do zera)
![{\displaystyle \langle A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\rangle ={\frac {1}{Z}}\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}A(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})\exp[-\beta H(S_{1},S_{2},\dots ,S_{N})].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757703ce90f86262e53e5ba6b921ab36cd10aee4)
Namagnesowanie jest więc równe:
![{\displaystyle m=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta J\sum _{<i,j>}S_{i}S_{j}+\beta h\sum _{i}S_{i}\right]=kT{\frac {1}{N}}{\frac {\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\left[\exp(-\beta H)\beta \sum _{i}S_{i}\right]}{Z}}={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d031c5cbf22f7ae5bde154245232f5901ff2d765)
Ostatecznie więc namagnesowanie
![{\displaystyle m={\frac {1}{N}}\sum _{i}\langle S_{i}\rangle =kT{\frac {1}{N}}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ead81cbdbc1d8f6371ee558aa3b2d6a91c3674f)
Gdy J = 0, tzn. dla układu nieoddziałujących spinów w polu magnetycznym suma statystyczna jest równa:
![{\displaystyle Z=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left(\beta h\sum _{i}S_{i}\right)=\left[\sum _{S_{i}}\left(\exp(\beta hS_{i})\right)\right]^{N}=\left[\exp(\beta h)+\exp(-\beta h)\right]^{N}=\left[2\cosh(\beta h)\right]^{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9be82936dd3c6af9b06b8da1acbff8d0253404d)
Dla takiej sumy statystycznej namagnesowanie jest równe
![{\displaystyle m={\frac {1}{N}}kT{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \left[2\cosh \beta h)\right]^{N}=kT{\frac {\left[\exp(\beta h)-\exp(-\beta h)\right]}{2\cosh(\beta h)}}=\operatorname {tgh} (\beta h).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41bacbbf5908972e62508963f38b91b76736550a)
Model Isinga w jednym wymiarze
W układzie jednowymiarowym można nałożyć periodyczne warunki brzegowe
Hamiltonian dla takiego układu:
![{\displaystyle {\begin{aligned}H&=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-h\sum _{i}S_{i}=-J\sum _{i}S_{i}S_{i+1}-{\frac {1}{2}}h\sum _{i}S_{i}-{\frac {1}{2}}h\sum _{i}S_{i+1}=-\sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\\&=-\left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5710986663bf9c3b092cb6d23e251d9e60da05)
Statystyczna suma stanów:
![{\displaystyle {\begin{aligned}Z&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp(-\beta H)=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \sum _{i}\left(JS_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})+Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})+Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})+\ldots +Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}\exp \left[\beta \left(Js_{1}S_{2}+{\frac {1}{2}}h(S_{1}+S_{2})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{2}S_{3}+{\frac {1}{2}}h(S_{2}+S_{3})\right)\right]\exp \left[\beta \left(Js_{3}S_{4}+{\frac {1}{2}}h(S_{3}+S_{4})\right)\right]\ldots \exp \left[\beta \left(Js_{N}S_{1}+{\frac {1}{2}}h(S_{N}+S_{1})\right)\right]\\&=\sum _{S_{1},\dots ,S_{N}}M_{S_{1},S_{2}}M_{S_{2},S_{3}}\ldots M_{S_{N},S_{1}}=(*),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24cc98d9bfb7cdb233845237cb9bb1d705b734d7)
gdzie:
![{\displaystyle M_{S_{1},S_{2}}=M_{S_{2},S_{3}}=\ldots =M_{S_{N},S_{1}}=M_{S_{i},S_{i+1}}=M=\exp \left[\beta \left(Js_{i}S_{i+1}+{\frac {1}{2}}h(S_{i}+S_{i+1})\right)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bb6bdc63317ec0eaa979c893d9a78793a89be69)
Możliwe są cztery „warianty” M:
![{\displaystyle {\begin{matrix}&{\begin{matrix}s_{i}=-1&s_{i}=+1\end{matrix}}\\{\begin{matrix}s_{i+1}=-1\\s_{i+1}=+1\end{matrix}}&{\begin{bmatrix}e^{\beta (J-h)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{\beta (J+h)}\end{bmatrix}}\end{matrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/246a28ffb281af72f77aa8a9a5d2f8eb9d683357)
Wracając więc do sumy statystycznej
![{\displaystyle Z=(*)=Tr(M^{N})=Tr(M\cdot M\cdot M\cdot \ldots \cdot M)=(**).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47fc4f4356ebb9644aa2dc346709efe69b855f0a)
Macierz M można przedstawić w postaci
gdzie
jest macierzą diagonalną, a
![{\displaystyle Z=(**)=Tr(U^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }M^{D}UU^{\dagger }\ldots M^{D}U)=Tr(U^{\dagger }(M^{D})^{N}U)=(***).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a94a34f244b0dc42822208197ae9312e621fc107)
jest macierzą diagonalną, jest więc postaci:
![{\displaystyle M^{D}=\left({\begin{matrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{matrix}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a71b31e8d9edb4c4173f30dd63c3b63febec5e3)
Natomiast
Wyznaczenie wartości własnych dla M:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\det M&=\det \left({\begin{matrix}{\exp(\beta J+\beta h)-\lambda }&{\exp(-\beta J)}\\{\exp(-\beta J)}&{\exp(\beta J-\beta h)-\lambda }\end{matrix}}\right)\\[.5em]&=\left(\exp {(\beta J+\beta h)}-\lambda \right)\left(\exp {(\beta J-\beta h)}-\lambda \right)-\exp(2\beta J)\\[.5em]&=2\sinh(2\beta J)-\lambda 2\exp(\beta J)\cosh(\beta h)+\lambda ^{2},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e45ce485f30df5597cfe4e23f8837b76877d0620)
![{\displaystyle \lambda _{1}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102a69dd999dab60b5874305ce6d469cdaeb00c1)
![{\displaystyle \lambda _{2}=\exp(\beta J)\left[\cosh(\beta h)-{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f18a8d4ee405ea750f5abafd61b5a245154107e)
Wybierając największą wartość własną macierzy:
![{\displaystyle \lambda _{1}>\lambda _{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e68e49479753697bacbfcb2948a8c701307abce5)
otrzymujemy, że suma statystyczna jest równa:
![{\displaystyle Z=(***)={\lambda _{1}}^{N}+{\lambda _{2}}^{N}={\lambda _{1}}^{N}\cdot \left(1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{N}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0a4de6dbd4644c90aaae2002eca21ed61e3951a)
Jeśli
to:
![{\displaystyle Z={\lambda _{1}}^{N}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44f6c5c74d1c759117d82b335d9396664a2cbe2c)
Faza stabilna jest określona przez największą wartość własną. Przejście fazowe (np. między fazą ferro i paramagnetyczną) zachodzi wtedy, gdy zrównują się wartości własne.
Namagnesowanie w takim wypadku jest równe:
![{\displaystyle {\begin{aligned}m&={\frac {1}{N}}kY{\frac {\partial }{\partial h}}\ln Z\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {\partial }{\partial h}}\ln \exp(\beta h)\cdot \left[\cosh(\beta h)+{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}\right]\\[.5em]&={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{\lambda _{1}}}\exp(\beta J)\cdot \left[\beta \sinh(\beta h)+{\frac {2\beta \sinh(\beta h)\cosh(\beta h)}{2{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}}\right]\\[.5em]&={\frac {\exp(\beta J)\sinh(\beta h)}{\lambda _{1}}}\cdot \left[{\frac {{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}+\cosh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}\right].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/215216f84122062f08093f682907633f534ab6a4)
Czyli ostatecznie namagnesowanie:
![{\displaystyle m={\frac {\sinh(\beta h)}{\sqrt {\cosh ^{2}(\beta h)-2\exp(-2\beta J)\sinh(2\beta J)}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df5d35c83ba9624d8dd7ef0eb2acde85984c167)
Bez zewnętrznego pola magnetycznego
Dla
(czyli braku zewnętrznego pola magnetycznego)
czyli nie ma ferromagnetyzmu w układzie jednowymiarowym.
Kontrola autorytatywna (modelowanie matematyczne):