Moduł ilorazowy
![]() | Ten artykuł od 2011-07 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
Moduł ilorazowy – struktura tworzona dla dowolnego modułu i jego podmodułu. Konstrukcja opisana niżej jest analogiczna do otrzymywania pierścienia liczb całkowitych modulo n (zobacz: arytmetyka modularna). W ten sam sposób powstają też grupa ilorazowa i pierścień ilorazowy.
Definicja
Niech dany będzie (lewostronny) moduł nad pierścieniem oraz podmoduł tego modułu. Przestrzeń ilorazowa zdefiniowana jest za pomocą następującej relacji równoważności:
- wtedy i tylko wtedy, gdy
dla dowolnych Elementami są klasy abstrakcji postaci
Działanie dodawania w określone jest dla dwóch klas równoważności jako klasa równoważności sumy dwóch reprezentantów tych klas; podobnie definiuje się iloczyn przez elementy z Tym sposobem przestrzeń ilorazowa sama staje się modułem nad nazywanym modułem ilorazowym. Symbolicznie:
- i
dla dowolnych oraz
Dla modułu i podmodułu
Moduł ilorazowy to przestrzeń klas abstrakcji z działaniami określonymi powyżej.
Przykłady
Niech dany będzie pierścień liczb rzeczywistych i -moduł czyli pierścień wielomianów o rzeczywistych współczynnikach. Rozważmy podmoduł
modułu to jest podmoduł wszystkich wielomianów podzielnych przez Okazuje się, że relacją równoważności określoną przez ten moduł jest
- wtedy i tylko wtedy, gdy oraz dają tę samą resztę z dzielenia przez
Dlatego w module ilorazowym wielomian będzie tym samym co i stąd może być on postrzegany jako otrzymany z przez utożsamienie Moduł ilorazowy jest izomorficzny z liczbami zespolonymi postrzeganymi jako moduł nad liczbami rzeczywistymi
Własności
![]() | Tę sekcję należy dopracować: własności/twierdzenia nie są jasno sformułowane i nie wiadomo o co w nich chodzi. Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tej sekcji. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tej sekcji. |
- Moduł ilorazowy jest obrazem homomorficznym modułu przez homomorfizm o jądrze dany wzorem
Odwzorowanie jest nazywane projekcją modułu na moduł ilorazowy .
- Twierdzenie o izomorfizmie: dla dwóch podmodułów modułu prawdziwe jest
- dla podmodułu zachodzi
- Istnieje kanoniczna odpowiedniość pomiędzy klasą izomorfizmów monomorfizmów w a klasą izomorfizmów epimorfizmów z monomorfizm odpowiada modułowi ilorazowemu a epimorfizm odpowiada podmodułowi
- Jeżeli moduł jest skończenie generowany lub ma skończoną długość, to taki jest też jego dowolny moduł ilorazowy.
- Jeżeli jest -algebrą (łączną, z jedynką), to
- gdzie jest obrazem w
- Jeżeli jest (obustronnym) ideałem w to moduł ilorazowy jest tym samym co pierścień ilorazowy