Nierówność Poincarégo – rezultat dotyczący ograniczania normy
funkcji (pomniejszonej o średnią całkową) z przestrzeni Sobolewa przez normę jej gradientu.
Wypowiedź
Niech
oraz
będzie otwartym, ograniczonym i spójnym podzbiorem
o brzegu klasy
Wtedy istnieje taka stała
że dla każdej funkcji
należącej do przestrzeni Sobolewa
zachodzi:
![{\displaystyle \|u-(u)_{\Omega }\|_{L^{p}}\leqslant C\|\nabla u\|_{L^{p}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdb45dcce91c7a5fb1472dafea9aa6abf590c24f)
gdzie:
jest średnią całkową funkcji
na ![{\displaystyle \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e6a34b6c6b77b92a65f692aad0f65b10f5bf26)
oznacza miarę Lebesgue’a na
zbioru ![{\displaystyle \Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9e6a34b6c6b77b92a65f692aad0f65b10f5bf26)
jest dane wzorem:
![{\displaystyle \|\nabla u\|_{L^{p}}=(\sum _{j=1}^{n}\|{\frac {\partial u}{\partial x_{j}}}\|_{L^{p}}^{p})^{1/p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d154ccc5f7ed5ff951f77918ceecdca7c9ce535b)
Bibliografia
- Lawrence C. Evans: Równania różniczkowe cząstkowe. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2002. Brak numerów stron w książce