Objętość (matematyka)

Ten artykuł dotyczy objętości w geometrii trójwymiarowej. Zobacz też: inne znaczenia.

Objętość – miara 3-wymiarowej przestrzeni.

Konstrukcja pojęcia

W matematyce objętość najprościej zdefiniować w następujący sposób:

  • Pokrywamy całą przestrzeń siatką przylegających sześcianów o bokach a 1 . {\displaystyle a_{1}.}
  • Liczbę sześcianów, które mają choćby jeden punkt wspólny z bryłą lub obszarem przestrzeni, którego objętość chcemy obliczyć oznaczmy przez n 1 . {\displaystyle n_{1}.}

Tworząc rozmaite siatki sześcianów o coraz to mniejszych krawędziach a 2 < a 1 , {\displaystyle a_{2}<a_{1},} a 3 < a 2 {\displaystyle a_{3}<a_{2}} itd. uzyskamy ciąg liczb n 1 , n 2 , . . . {\displaystyle n_{1},n_{2},...} Objętością nazywamy granicę:

V = lim i → ∞ n i   a i 3 . {\displaystyle V=\lim _{i\to \infty }n_{i}~a_{i}^{3}.}

Granica ta nie zawsze istnieje. Jeśli nie istnieje, objętości nie da się obliczyć tą metodą.

Co więcej, konstrukcja ta ma jeszcze jedną wadę – choć dobrze sprawdza się w typowych wypadkach, jednak nie posiada podstawowej własności, która intuicyjnie powinna charakteryzować objętość: objętość dwóch nie nachodzących na siebie brył może być większa niż objętość bryły powstałej z ich połączenia.

Przykład: zbiory

{ ( x , y , z ) ∈ R 3 : x , y , z ∈ Q , 0 < x , y , z < 1 } {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x,y,z\in \mathbb {Q} ,\,0<x,y,z<1\}}

oraz

{ ( x , y , z ) ∈ R 3 : x , y , z ∈ R ∖ Q , 0 < x , y , z < 1 } {\displaystyle \{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\colon \,x,y,z\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} ,\,0<x,y,z<1\}}

mają obydwa objętości równe jeden, są rozłączne (mają pusty przekrój), a ich suma (czyli wnętrze sześcianu) również ma objętość równą jeden.

Udowodniono jednak, iż nie istnieje żadna nietrywialna funkcja, którą dałoby się zmierzyć dowolną bryłę i która dla dwóch rozłącznych brył dawałaby wynik równy ich sumie.

 Osobny artykuł: Miara Lebesgue’a.

Objętość pod powierzchnią

Objętość między powierzchnią daną równaniem z = f ( x , y ) , {\displaystyle z=f(x,y),} a płaszczyzną O X Y {\displaystyle OXY} w obszarze x 1 < x < x 2 , y 1 < y < y 2 {\displaystyle x_{1}<x<x_{2},y_{1}<y<y_{2}} jest równe całce podwójnej

V = ∫ x 1 x 2 ∫ y 1 y 2 | f ( x , y ) | d y   d x . {\displaystyle V=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}|f(x,y)|dy~dx.}

Jednostki objętości

Za jednostkę objętości przyjmuje się sześcian o długości krawędzi odpowiadających jednostce długości w danym systemie miar. W układzie SI jednostką objętości jest sześcian o boku 1 metra, czyli metr sześcienny.

Zobacz też