Pochodna zbioru

Pochodna zbioru – dla danego zbioru ${\displaystyle A}$ w przestrzeni topologicznej zbiór wszystkich jego punktów skupienia^[1]. Pochodną zbioru ${\displaystyle A}$ oznacza się ${\displaystyle A^{d},}$ niekiedy także ${\displaystyle A'.}$

W przestrzeni T1 pochodna ma następujące własności:

1. ${\displaystyle {\overline {A}}=A\cup A^{d}}$
2. ${\displaystyle {\overline {A^{d}}}=A^{d}}$ – pochodna jest zbiorem domkniętym
3. ${\displaystyle (A\cup B)^{d}=A^{d}\cup B^{d}}$
4. ${\displaystyle (A^{d})^{d}\subseteq A^{d}}$
5. ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}^{d}\subset (\bigcup _{i\in I}A_{i})^{d}}$ – dla dowolnej rodziny ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ zbiorów przestrzeni ${\displaystyle X}$^[2].

Elementy ${\displaystyle A\setminus A^{d}}$ to punkty izolowane zbioru ${\displaystyle A.}$ Punkt ${\displaystyle a\in A\setminus A^{d}}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie otwarte ${\displaystyle U}$ punktu ${\displaystyle a}$ takie, że ${\displaystyle U\cap A=\{a\}.}$

• ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{d}=\mathbb {R} ,}$ gdzie ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ oznacza zbiór liczb wymiernych, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ – rzeczywistych.
• ${\displaystyle (1,2)^{d}=[1,2]}$
• ${\displaystyle \{1,2\}^{d}=\varnothing }$

Niech ${\displaystyle \alpha }$ będzie liczbą porządkową, ${\displaystyle X}$ niech będzie przestrzenią topologiczną, ${\displaystyle A}$ podzbiorem ${\displaystyle X.}$ Pochodną Cantora-Bendixsona rzędu ${\displaystyle \alpha }$ zbioru ${\displaystyle A}$ definiujemy przez indukcję pozaskończoną w następujący sposób

• ${\displaystyle A^{1}=A^{d},}$
• ${\displaystyle A^{\alpha }=(\bigcap _{\lambda <\alpha }A^{\lambda })^{d}.}$

Dla każdego zbioru ${\displaystyle A}$ istnieje liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ taka, że ${\displaystyle A^{\alpha }=A^{\alpha +1}.}$ Najmniejszą liczbę porządkową ${\displaystyle \alpha }$ o tej własności nazywamy rangą Cantora-Bendixsona zbioru ${\displaystyle A,}$ a zbiór ${\displaystyle A^{\alpha }}$ nazywamy jądrem doskonałym zbioru ${\displaystyle A.}$ Jądro doskonałe jest zbiorem doskonałym. Jeśli ${\displaystyle A}$ jest zbiorem domkniętym, to jego jądro doskonałe jest w nim zawarte.

Jeśli dla przestrzeni topologicznej ${\displaystyle X}$ istnieje liczba porządkowa ${\displaystyle \alpha }$ taka, że ${\displaystyle X^{\alpha }=\emptyset ,}$ to ${\displaystyle X}$ jest tzw. przestrzenią rozproszoną.

Jeśli ${\displaystyle A\subset \mathbb {R} ,}$ to ranga Cantora-Bendixsona ${\displaystyle \alpha }$ zbioru ${\displaystyle A}$ jest przeliczalną liczbą porządkową, symbolicznie ${\displaystyle \alpha <\omega _{1}.}$ Wynika to z faktu, że ciąg ${\displaystyle \{A^{\xi }:\xi <\omega _{1}\}}$ składa się ze zbiorów domkniętych. Gdyby ten ciąg nie stabilizował się po przeliczalnie wielu krokach, to ${\displaystyle \{A^{\xi }:\xi <\omega _{1}\}}$ byłby nieprzeliczalnym ciągiem zstępującym zbiorów domkniętych, co przeczyłoby ośrodkowości ${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• przestrzeń rozproszona
• zbiór doskonały
• zbiór wszędzie gęsty