Pochodna zbioru – dla danego zbioru
w przestrzeni topologicznej zbiór wszystkich jego punktów skupienia[1]. Pochodną zbioru
oznacza się
niekiedy także
W przestrzeni T1 pochodna ma następujące własności:
![{\displaystyle {\overline {A}}=A\cup A^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dec6574847409f5a476fd3f1fe63c7fc292d5e)
– pochodna jest zbiorem domkniętym ![{\displaystyle (A\cup B)^{d}=A^{d}\cup B^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/467f175c0011585987cea2f7405c2d58ddfbd44b)
![{\displaystyle (A^{d})^{d}\subseteq A^{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e211764322437e3c879269d4cf13496997c1c07)
– dla dowolnej rodziny
zbiorów przestrzeni
[2].
Elementy
to punkty izolowane zbioru
Punkt
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie otwarte
punktu
takie, że
Przykłady
gdzie
oznacza zbiór liczb wymiernych,
– rzeczywistych. ![{\displaystyle (1,2)^{d}=[1,2]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76332970a1c617c1da03d19ba9dbf55b3ada723f)
![{\displaystyle \{1,2\}^{d}=\varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1ffdc05f94250927b42d86c7e5ebb635ab695)
Pochodna Cantora-Bendixsona
Niech
będzie liczbą porządkową,
niech będzie przestrzenią topologiczną,
podzbiorem
Pochodną Cantora-Bendixsona rzędu
zbioru
definiujemy przez indukcję pozaskończoną w następujący sposób
![{\displaystyle A^{1}=A^{d},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f1ef0e5bcdf3f71ccfe76c2a40955332d378a04)
![{\displaystyle A^{\alpha }=(\bigcap _{\lambda <\alpha }A^{\lambda })^{d}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74e465045402bd8ad36f3a27dd76ed40b4d66da2)
Dla każdego zbioru
istnieje liczba porządkowa
taka, że
Najmniejszą liczbę porządkową
o tej własności nazywamy rangą Cantora-Bendixsona zbioru
a zbiór
nazywamy jądrem doskonałym zbioru
Jądro doskonałe jest zbiorem doskonałym. Jeśli
jest zbiorem domkniętym, to jego jądro doskonałe jest w nim zawarte.
Jeśli dla przestrzeni topologicznej
istnieje liczba porządkowa
taka, że
to
jest tzw. przestrzenią rozproszoną.
Jeśli
to ranga Cantora-Bendixsona
zbioru
jest przeliczalną liczbą porządkową, symbolicznie
Wynika to z faktu, że ciąg
składa się ze zbiorów domkniętych. Gdyby ten ciąg nie stabilizował się po przeliczalnie wielu krokach, to
byłby nieprzeliczalnym ciągiem zstępującym zbiorów domkniętych, co przeczyłoby ośrodkowości
Zobacz też
Przypisy
- ↑ Pochodna zbioru, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
- ↑ Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1962, s. 105.