Prawo wzajemności reszt kwadratowych
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/e3/Disqvisitiones-800.jpg/220px-Disqvisitiones-800.jpg)
Prawo wzajemności reszt kwadratowych – twierdzenie teorii liczb, które pozwala rozstrzygnąć, czy dana kongruencja stopnia 2 ma rozwiązanie. Prawo wzajemności reszt kwadratowych udowodnił Gauss, choć jego prawdziwość podejrzewali już Euler i Legendre.
Twierdzenie
Niech i będą dwiema różnymi, nieparzystymi liczbami pierwszymi. Wynika stąd natychmiast, że i przystają modulo 4 albo do 1, albo do 3 – jeśli choć jedna z tych liczb przystaje do 1 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
ma rozwiązanie na ogół rozwiązania te będą różne. Jeśli natomiast obie liczby i przystają do 3 modulo 4, to kongruencja
ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy kongruencja
nie ma rozwiązania
Korzystając z symbolu Legendre’a,
- jeśli jest resztą kwadratową modulo i w przeciwnym wypadku,
oba stwierdzenia można zapisać następująco[2]:
Ponieważ jest parzyste jeśli któraś z liczb lub przystaje do 1 modulo 4, i nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy obie liczby i przystają do 3 modulo 4, jest równe 1 jeśli któraś z liczb lub przystaje do 1 modulo 4 i –1 jeśli obie liczby i przystają do 3 modulo 4.
Znanych jest co najmniej 246 różnych dowodów prawa wzajemności reszt kwadratowych[3].
Przypisy
- ↑ Carl FriedrichC.F. Gauss Carl FriedrichC.F., Disquisitiones Arithmeticae, „SpringerLink”, 1986, s. 92, DOI: 10.1007/978-1-4939-7560-0 [dostęp 2024-02-05] (ang.).
- ↑ reszt kwadratowych prawo wzajemności, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-08] .
- ↑ Proofs of the Quadratic Reciprocity Law.
- Britannica: topic/quadratic-reciprocity-law