Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej
nazywamy funkcję
określoną na rodzinie
wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów
określona jest funkcja
![{\displaystyle \rho _{U}^{V}:{\mathcal {F}}(V)\to {\mathcal {F}}(U)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4599ee0f609b1655d1eacb311544d75266d93d61)
o własnościach:
składa się z jednego elementu,
(
jest przekształceniem tożsamościowym na
), - dla dowolnych zbiorów otwartych
[1].
Czasem taki presnop oznacza się przez
Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja
jest związana z presnopem
to stosowane jest oznaczenie
Funkcja
jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.
Jeśli wszystkie zbiory
są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania
są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieni[1].
Własności
- Presnop grup abelowych można zdefiniować jako funktor kontrawariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni
w kategorię grup abelowych[2]. - Można definiować presnop jako funktor kowariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni
w dowolną kategorię[2].
Przykłady
- Jeśli
jest zbiorem,
jest zbiorem wszystkich funkcji na
o wartościach w
oraz
dla
to
jest nazywany presnopem wszystkich funkcji na
[1]. - Jeśli
jest przestrzenią topologiczną,
jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na
o wartościach w
a
jest określone tak, jak w poprzednim przykładzie, to
jest nazywany presnopem funkcji ciągłych na
[1]. - Każdy presnop generuje pewien snop[2]. Niech
będzie presnopem na przestrzeni topologicznej
Dla każdego zbioru otwartego
niech
będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych:
z topologią indukowaną przez topologię
oraz
z topologią dyskretną. Niech
będzie sumą rozłączną tych przestrzeni, gdzie
przebiega zbiór wszystkich zbiorów otwartych w
Na tej przestrzeni można określić relację równoważności ![{\displaystyle R{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25b79ba2924e3d2393c71443164b2698d763421b)
- dla
i ![{\displaystyle (y,t)\in V\times {\mathcal {F}}(V){:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4976d180b03262ba2a9430274bbce951ef9cdde0)
![{\displaystyle (x,s)R(y,t)\Leftrightarrow (x=y\land \exists _{x\in W\subset U\cap V}\rho _{W}^{U}(s)=\rho _{W}^{V}(t)).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bfa2560e1b6d7d0b57001a07d3f60af2fb902ca)
Wtedy przestrzeń ilorazowa
z rzutowaniem
indukowanym przez rzutowanie
określone wzorem
jest snopem na
nazywanym snopem generowanym przez presnop
- Istnieją presnopy, które nie są snopami[1].
Przypisy
- ↑ a b c d e Игорь Шафаревич: Основы алгебраической геометрии. Wyd. 2. T. 2. Москва: Наука, 1988, s. 22–28. (ros.).
- ↑ a b c Glen E. Bredon: Теория пучков. Москва: Наука, 1988, s. 11–15. (ros.).