Problem Dirichleta
Problem Dirichleta polega na znalezieniu funkcji harmonicznej dla danego obszaru z danymi wartościami na brzegu. Problem ten został po raz pierwszy postawiony przez Lejeune’a Dirichleta dla równania Laplace’a.
Przykład – Równanie struny skończonej przymocowanej do ruchomego końca
Rozważmy problem Dirichleta dla równanie falowego opisujący strunę zamocowaną pomiędzy ścianami na stałe do jednego koṅca z drugim koṅcem poruszającym się liniowo, tzn. równanie d’Alemberta na trójkątnym obszarze iloczynu kartezjańskiego czasu i przestrzeni:
Jak łatwo sprawdzić przez podstawienie rozwiązaniem równania z pierwszym warunkiem jest
Chcemy ponadto
Podstawiając
otrzymujemy warunek samopodobieństwa,
gdzie:
Spełnia go np. funkcja złożona
z więc w ogólności
gdzie jest funkcją periodyczną z okresem
i otrzymujemy więc ogólne rozwiązanie
Zobacz też
- warunki brzegowe
- p
- d
- e
zwyczajne |
|
---|---|
cząstkowe | |
metody rozwiązań | |
powiązane pojęcia | |
twierdzenia | |
powiązane nauki | |
badacze |
|
- Britannica: topic/Dirichlet-problem
- Catalana: 0022583