Przestrzeń Frécheta (analiza funkcjonalna)
![]() | Nie mylić z: Przestrzeń Frécheta (topologia). |
Przestrzeń Frécheta – przestrzeń liniowo-topologiczna lokalnie wypukła, której topologia jest metryzowana przez niezmienniczą na przesunięcia metrykę zupełną. Nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska matematyka Maurice’a Frécheta. Przestrzenie Frécheta są klasą przestrzeni rozszerzającą klasę przestrzeni Banacha[1]. Każda przestrzeń Frécheta może zostać opisana jako granica odwrotna systemu przestrzeni Banacha.
Uwaga terminologiczna: Niektórzy autorzy pomijają założenie lokalnej wypukłości i przestrzenią Frécheta nazywają każdą metryzowalną w sposób zupełny przestrzeń liniowo-topologiczną (tzw. F-przestrzeń).
Równoważna definicja
Założenie lokalnej wypukłości w definicji przestrzeni Frécheta implikuje, że topologia przestrzeni wyznaczona jest przez rodzinę półnorm. Przestrzeń liniowo-topologiczna jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy, gdy jej topologia jest wyznaczona przez przeliczalną rodzinę półnorm, względem której jest ona zupełna. Dokładniej, przestrzeń liniowo-topologiczna (Hausdorffa) X jest przestrzenią Frécheta wtedy i tylko wtedy
- topologia przestrzeni X wyznaczona jest przez przeliczalną rodzinę półnorm (k = 0, 1, 2, ...), tzn. niepusty zbiór U jest otwarty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego elementu istnieje stała dodatnia K oraz o tej własności, że
- jest zawarty w U;
- jest zupełna ze względu na każdą z półnorm (k = 0, 1, 2, ...);
- jest przestrzenią Hausdorffa, co jest różnoważne temu, że
W tym ujęciu można opisać zbieżność ciągów w przestrzeniach Frécheta: ciąg elementów (xn) w przestrzeni Frécheta X jest zbieżny do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego k:
Przykłady
- Przestrzeń funkcji nieskończenie razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy
- W powyższym wzorze ƒ(k) oznacza k-tą pochodną funkcji ƒ, przy czym ƒ(0) = ƒ. W tej przestrzeni, ciąg funkcji jest zbieżny do pewnej funkcji wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciąg jest zbieżny jednostajnie do
- Przestrzeń funkcji nieskończenie wiele razy różniczkowalnych jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy:
- Ciąg funkcji w tej przestrzeni jest zbieżny dokładnie wtedy, gdy jest zbieżny niemal jednostajnie, tj. jest zbieżny jednostajnie po zacieśnieniu do każdego zwartego podzbioru zbioru liczb rzeczywistych.
- Przestrzeń funkcji -krotnie różniczkowalnych w sposób ciągły jest przestrzenią Frécheta zadaną przez półnormy
Przypisy
- ↑ przestrzeń Frécheta, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
Bibliografia
- Jürgen Voigt, A Course on Topological Vector Spaces, Compact Textbooks in Mathematics, Birkhäuser (2020). ISBN 978-3-030-32945-7.
- p
- d
- e
przestrzenie dwuliniowe i półtoraliniowe | |
---|---|
przestrzenie unormowane | |
przestrzenie liniowo-topologiczne |
|
algebry nad ciałem |