Przestrzeń Grothendiecka

Przestrzeń Grothendiecka (przestrzeń Banacha o własności Grothendiecka) – przestrzeń Banacha o tej własności, że każdy ciąg punktów jej przestrzeni sprzężonej, który jest zbieżny w sensie *-słabej topologii jest również zbieżny w sensie słabej topologii. Równoważnie, przestrzeń Banacha ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Grothendiecka, gdy dla każdego ciągu ${\displaystyle (f_{n})}$ funkcjonałów liniowych i ciągłych na ${\displaystyle E,}$ który spełnia warunek

${\displaystyle \langle f_{n},x\rangle \,\xrightarrow {n\to \infty } \,0\;\;\;(x\in E)}$

zachodzi również

${\displaystyle \langle x^{**},f_{n}\rangle \,\xrightarrow {n\to \infty } \,0\;\;\;(x^{**}\in E^{**}).}$

Nazwa pojęcia pochodzi od A. Grothendiecka, który udowodnił, że przestrzenie Banacha ${\displaystyle C(K)}$ funkcji ciągłych na ekstremalnie niespójnych przestrzeniach zwartych Hausdorffa ${\displaystyle K,}$ wyposażone w normę supremum, są przestrzeniami Grothendiecka^[1] (sam Grothendieck nie nazywał ich w taki sposób). W szczególności, przestrzeń ${\displaystyle \ell _{\infty }=C(\beta N)}$ jest więc przestrzenią Grothendiecka (${\displaystyle \beta N}$ oznacza uzwarcenie Čecha-Stone’a zbioru liczb naturalnych z topologią dyskretną). Ogólniej, każda przestrzeń Banacha postaci ${\displaystyle L_{\infty }(\mu )}$ jest przestrzenią Grothendiecka.

• Ilorazy (a więc także podprzestrzenie komplementarne) przestrzeni Grothendiecka są przestrzeniami Grothendiecka. Przestrzeń izomorficzna z przestrzenią Grothendiecka jest przestrzenią Grothendiecka. Domknięte podprzestrzenie przestrzeni Grothendiecka nie muszą być przestrzeniami Grothendiecka.
• Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Grothendiecka jest słabo ciągowo zupełna.
• Każda przestrzeń refleksywna ma własność Grothendiecka.

Dowód. Niech ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią refleksywną. Wówczas ${\displaystyle E^{*}=(E^{**})^{*},}$ skąd wynika, że topologie słaba i *-słaba w ${\displaystyle E^{*}}$ są równe. W szczególności, więc mają te same ciągi zbieżne. □

Przeciwna implikacja zachodzi dla przestrzeni ośrodkowych: każda ośrodkowa przestrzeń Grothendiecka jest refleksywna. Wynika to bezpośrednio z następującego twierdzenia (oraz faktu, że przestrzeń Banacha ${\displaystyle E}$ jest refleksywna wtedy i tylko wtedy, gdy identyczność na ${\displaystyle E}$ jest operatorem słabo zwartym: Niech ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią Banacha. Wówczas następujące warunki są równoważne:

1) ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Grothendiecka,

2) jeżeli ${\displaystyle F}$ jest ośrodkową przestrzenią Banacha, to każdy operator liniowy i ciągły ${\displaystyle T\colon E\to F}$ jest słabo zwarty,

3) każdy operator liniowy i ciągły ${\displaystyle T\colon E\to c_{0}}$ jest słabo zwarty.

W szczególności, ponieważ przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ jest ośrodkowa, ale nie jest refleksywna, z twierdzenia tego wynika, że ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest przestrzenią Grothendiecka (inne dowody tego faktu są podane niżej).

Dowód. 1) ⇒ 2). Niech ${\displaystyle E}$ będzie przestrzenią Grothendiecka, ${\displaystyle F}$ będzie ośrodkową przestrzenią Banacha oraz niech ${\displaystyle T\colon E\to F}$ będzie operatorem liniowym i ciągłym. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że ${\displaystyle T}$ jest słabo zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jego operator sprzężony ${\displaystyle T^{*}\colon F^{*}\to E^{*}}$ jest słabo zwarty. Z twierdzenia Eberleina-Szmuljana wynika, że słaba zwartość operatora ${\displaystyle T^{*}}$ jest równoważna temu by dla każdego ciągu ograniczonego ${\displaystyle (f_{n})}$ w ${\displaystyle F^{*}}$ dało się wybrać podciąg słabo zbieżny z ciągu ${\displaystyle (T^{*}\ f_{n}).}$ Ponieważ jednak ${\displaystyle F}$ jest ośrodkowa, domknięte i ograniczone podzbiory ${\displaystyle F^{*}}$ są metryzowalne w *-słabej topologii, a więc *-słabo ciągowo zwarte (por. twierdzenie Banacha-Alaoglu). Istnieje więc podciąg ${\displaystyle (f_{n_{k}})}$ ciągu ${\displaystyle (f_{n}),}$ który jest *-słabo zbieżny. Ponieważ operator ${\displaystyle T^{*}}$ jest ciągły, względem *-słabych topologii w ${\displaystyle F^{*}}$ i ${\displaystyle E^{*},}$ ciąg wartości ${\displaystyle (T^{*}f_{n_{k}})}$ jest zbieżny *-słabo w ${\displaystyle E^{*},}$ a więc z założenia, że ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg ${\displaystyle (T^{*}f_{n_{k}})}$ zbiega słabo w ${\displaystyle E^{*},}$ dowodząc, że operator ${\displaystyle T^{*}}$ (a tym samym również ${\displaystyle T}$) jest słabo zwarty.

Implikacja 2) ⇒ 3) jest spełniona automatycznie, ponieważ ${\displaystyle c_{0}}$ jest przestrzenią ośrodkową.

Pozostaje do wykazania implikacja 3) ⇒ 1). Niech ${\displaystyle (f_{n})}$ będzie ciągiem elementów przestrzeni ${\displaystyle E^{*}}$ zbieżnym *-słabo do 0. W szczególności, dla dowolnego elementu ${\displaystyle x}$ przestrzeni ${\displaystyle E}$ funkcjonał ${\displaystyle \kappa }$ na ${\displaystyle E^{*}}$ dany wzorem ${\displaystyle \kappa (f)=\langle f,\ x\rangle }$ jest *-słabo ciągły oraz ciąg skalarów ${\displaystyle \langle f_{n},\ x\rangle }$ zbiega do 0. Niech

${\displaystyle Tx=(\langle f_{n},x\rangle )_{n=1}^{\infty }\quad (x\in E).}$

Wzór ten definiuje operator liniowy i ciągły ${\displaystyle T\colon E\to c_{0},}$ który z założenia jest słabo zwarty. Z twierdzenia Gantmachier wynika, że ${\displaystyle T^{**}\colon E^{**}\to c_{0}^{**}}$ jest również słabo zwarty, co oznacza, że

${\displaystyle T^{**}[E^{**}]\subseteq c_{0}.}$

Przestrzeń ${\displaystyle \ell _{1}}$ jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią sprzężoną przestrzeni ${\displaystyle c_{0}}$ (zob. dualizm między ${\displaystyle c_{0}}$ a ${\displaystyle \ell _{1}}$). Niech ${\displaystyle (e_{n})}$ będzie bazą kanoniczną przestrzeni ${\displaystyle \ell _{1},}$ tj. dla każdego ${\displaystyle n}$ zachodzi

${\displaystyle \langle e_{n},g\rangle =g(n)\quad (g\in c_{0}).}$

Dla każdego ${\displaystyle x\in E}$ zachodzi wówczas

${\displaystyle \langle T^{*}e_{n},x\rangle =\langle e_{n},Tx\rangle =\langle f_{n},x\rangle .}$

Wynika stąd, że

${\displaystyle \langle e_{n},T^{**}x^{**}\rangle =\langle T^{*}e_{n},x^{**}\rangle =\langle f_{n},x^{**}\rangle \quad (x^{**}\in E^{**}).}$

Jednak

${\displaystyle (\langle f_{n},x^{**}\rangle )_{n=1}^{\infty }\in c_{0},}$

gdyż ${\displaystyle T^{**}}$ przyjmuje wartości w ${\displaystyle c_{0},}$ co dowodzi, że ${\displaystyle f_{n}}$ zbiega słabo do 0. □

• Przestrzeń Hardy'ego ${\displaystyle H^{\infty }}$ jest przestrzenią Grothendiecka^[2].
• Każda algebra von Neumanna (a więc w szczególności przestrzeń ${\displaystyle B(H)}$ operatorów ograniczonych i ciągłych na przestrzeni Hilberta) jest przestrzenią Grothendiecka^[3]. Podobne twierdzenie zachodzi również w nieco szerszej klasie C*-algebr: każda C*-algebra Rickarta jest przestrzenią Grothendiecka^[4]. Przestrzeń operatorów ograniczonych i ciągłych na przestrzeni refleksywnej nie musi być jednak przestrzenią Grothendiecka^[5].
• Gdy ${\displaystyle p\in (1,\infty ),}$ to ℓ_p-suma ciągu ${\displaystyle (E_{n})}$ przestrzeni Banacha jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy każda z przestrzeni ${\displaystyle E_{n}}$ jest przestrzenią Grothendiecka. ${\displaystyle \ell _{\infty }}$-sumy przestrzeni Grothendiecka (nawet przestrzeni skończenie wymiarowych) nie muszą być przestrzeniami Grothendiecka – stosownym kontrprzykładem jest ℓ_∞-suma przestrzeni n-wymiarowych z normą ${\displaystyle \ell _{1},}$ tj.

${\displaystyle \textstyle {\left(\bigoplus _{n=1}^{\infty }\ell _{1}^{n}\right)_{\ell _{\infty }}}}$

(przestrzeń ta zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle \ell _{1}}$^[6]).

• Jeżeli ${\displaystyle \mu }$ jest miarą, która nie jest czysto atomowa, to przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(E)}$ funkcji całkowalnych (w sensie Bochnera) w p-tej potędze ${\displaystyle (p\in (1,\infty ))}$ o wartościach w przestrzeni Banacha ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle E}$ jest refleksywna^[7] (wówczas sama przestrzeń ${\displaystyle L_{p}(E)}$ jest refleksywna).

W dalszym ciągu ${\displaystyle K}$ oznacza zwartą przestrzeń Hausdorffa oraz ${\displaystyle C(K)}$ oznacza przestrzeń Banacha funkcji ciągłych na ${\displaystyle K}$ przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone z normą supremum.

• Grothendieck udowodnił, że jeżeli ${\displaystyle K}$ jest zwartą przestrzenią ekstremalnie niespójną, to ${\displaystyle C(K)}$ ma własność Grothendiecka. Andô udowodnił, że tę samą własność mają przestrzenie ${\displaystyle C(K),}$ gdy ${\displaystyle K}$ jest przestrzenią σ-Stone’owską^[8]. Seever uogólnił te wyniki, pokazując, że jeżeli ${\displaystyle K}$ jest zwartą F-przestrzenią, to przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ ma własność Grothendiecka^[9].
• Jeżeli ${\displaystyle K}$ jest zwartą przestrzenią Hausdorffa oraz przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ jest przestrzenią Grothendiecka, to ${\displaystyle K}$ nie zawiera ciągów zbieżnych poza tymi, które są prawie wszędzie stałe, tj. trywialne.

Dowód. Rozumując nie wprost, niech ${\displaystyle (x_{n})}$ będzie nietrywialnym ciągiem zbieżnym w przestrzeni ${\displaystyle K}$ (nietrywialność oznacza, że ciąg ten przyjmuje nieskończenie wiele wartości). Z twierdzenia Riesza o reprezentacji wynika, że przestrzeń sprzężoną do ${\displaystyle C(K)}$ można utożsamić z przestrzenią ${\displaystyle M(K)}$ regularnych miar borelowskich na ${\displaystyle K.}$ Ponieważ odwzorowanie przyporządkowujące elementowi ${\displaystyle x\in K}$ deltę Diraca ${\displaystyle \delta _{x}}$ (a więc miarę borelowską na ${\displaystyle K}$) jest zanurzeniem homeomorficznym względem *-słabej topologii w ${\displaystyle M(K)}$ przestrzeni ${\displaystyle K}$ w ${\displaystyle M(K),}$ więc ciąg ${\displaystyle (\delta _{x_{n}})}$ jest *-słabo zbieżny. Z założenia, że ${\displaystyle C(K)}$ jest przestrzenią Grothendiecka, ciąg ten jest zbieżny w słabej topologii przestrzeni ${\displaystyle M(K),}$ co jednak prowadzi do sprzeczności, gdyż zbiór

${\displaystyle D=\{\delta _{x_{n}}\colon n\in \mathbb {N} \}}$

jest dyskretny w słabej topologii. Istotnie, dla każdego zbioru borelowskiego ${\displaystyle B\subseteq K}$ wzór

${\displaystyle F_{B}(\mu )=\mu (B)\quad (\mu \in M(K))}$

określa funkcjonał liniowy i ciągły na ${\displaystyle M(K).}$ W szczególności, dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle k}$ zbiór

${\displaystyle U_{k}=\{\mu \in M(K)\colon |F_{\{x_{k}\}}(\mu )|>0\}=\{\mu \in M(K)\colon |\mu (\{x_{k}\})|>0\}.}$

jest otwarty w słabej topologii przestrzeni ${\displaystyle M(K).}$ Z drugiej strony, jedynym elementem zbioru ${\displaystyle D,}$ który należy do ${\displaystyle U_{k}}$ jest ${\displaystyle x_{k},}$ co dowodzi, że ${\displaystyle D}$ jest dyskretny. □

Wynika stąd, że przestrzeń ${\displaystyle c_{0}}$ nie jest przestrzenią Grothendiecka, gdyż jest ona izomorficzna z ${\displaystyle C[0,\omega ]}$ (${\displaystyle \omega }$ oznacza najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową, a ${\displaystyle [0,\omega ]}$ zawiera nietrywialny ciąg zbieżny). Fakt ten można pokazać jednak w sposób elementarny:

Dowód. Niech ${\displaystyle (e_{n})}$ będzie bazą kanoniczną przestrzeni ${\displaystyle \ell _{1}.}$ Wówczas ${\displaystyle (e_{n})}$ jest ciągiem zbieżnym *-słabo do 0, ponieważ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\langle e_{n},g\rangle =0}$

dla każdego ciągu ${\displaystyle g}$ z ${\displaystyle c_{0}.}$ Ciąg ten jednak nie jest zbieżny w słabej topologii. Istotnie, niech ${\displaystyle g}$ będzie elementem ${\displaystyle \ell _{\infty }}$ określonym wzorem

${\displaystyle g(n)=(-1)^{n}\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

Granica tego ciągu nie istnieje, a więc ciąg ${\displaystyle (e_{n})}$ nie jest słabo zbieżny. □

• Istnieją przestrzenie zwarte ${\displaystyle K,}$ które nie mają ciągów zbieżnych, ale dla których ${\displaystyle C(K)}$ nie jest przestrzenią Grothendiecka. Cembranos udowodniła jednak, że przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera ona komplementarnej podprzestrzeni izomorficznej z przestrzenią ${\displaystyle c_{0}}$^[10]. Twierdzenie Cembranos sprowadza się de facto do sprawdzenia, że przestrzenie ${\displaystyle C(K)}$ mają własność Pełczyńskiego ${\displaystyle (V)}$ i zastosowania rezultatu Räbigera^[11], mówiącego że przestrzenie Banacha o własności Pełczyńskiego ${\displaystyle (V)}$ są przestrzeniami Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawierają komplementarnej podprzestrzeni izomorficznej z ${\displaystyle c_{0}.}$ (Cembranos dowodzi tego faktu niezależnie.) Ghenciu i Lewis dowiedli, że przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ jest przestrzenią Grothendiecka wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ograniczony operator liniowy ${\displaystyle T\colon C(K)\to c_{0}}$ jest całkowicie ciągły^[12].
• Przestrzeń ${\displaystyle C(K,E)}$ funkcji ciągłych na przestrzeni zwartej ${\displaystyle K}$ o wartościach w przestrzeni Banacha ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Grothendiecka tylko w dwóch przypadkach:

1) ${\displaystyle K}$ jest skończone i ${\displaystyle E}$ jest przestrzenią Grothendiecka,

2) ${\displaystyle E}$ jest skończenie wymiarowa i ${\displaystyle C(K)}$ jest przestrzenią Grothendiecka^[13].

Cembranos wzmocniła to twierdzenie dowądząc, że jeżeli ${\displaystyle K}$ jest nieskończoną przestrzenią zwartą oraz ${\displaystyle E}$ jest nieskończenie wymiarową przestrzenią Banacha, to przestrzeń ${\displaystyle C(K,E)}$ zawiera komplementarną podprzestrzeń izomorficzną z ${\displaystyle c_{0}.}$

• Gdy ${\displaystyle K}$ jest taką przestrzenią zwartą Hausdorffa, że ${\displaystyle C(K)}$ jest przestrzenią Grothendiecka, to ${\displaystyle C(K)}$ nie musi zawierać izomorficznej kopii przestrzeni ${\displaystyle \ell _{\infty }.}$ Pierwszy przykład takiej przestrzeni ${\displaystyle K,}$ pod założeniem hipotezy continuum, podał Talagrand^[14] – przykład Talagranda ma tę dodatkową własność, iż żaden iloraz skonstruowanej przez niego przestrzeni nie zawiera ${\displaystyle \ell _{\infty }.}$ Haydon zbudował w ZFC przykład przestrzeni Grothendiecka ${\displaystyle C(K),}$ która nie zawiera ${\displaystyle \ell _{\infty }}$^[15]. Istnieją także zwarte przestrzenie spójne dla których przestrzeń ${\displaystyle C(K)}$ ma te własności^[16]
• Jest niesprzeczne z ZFC, że istnieje algebra Boole’a ${\displaystyle B}$ mocy mniejszej niż continuum o tej własności, że przestrzeń ${\displaystyle C(\operatorname {Ult} B)}$ ma własność Grothendiecka (${\displaystyle \operatorname {Ult} B}$ oznacza przestrzeń Stone’a algebry ${\displaystyle B}$)^[17].

• J. Diestel, Geometry of Banach spaces-Selected Topics, Springer, 1975.
• J. Diestel, J.J. Uhl: Vector measures. Providence, R.I.: American Mathematical Society, 1977. ISBN 978-0-8218-1515-1. Brak numerów stron w książce
• M. González, T. Kania, Grothendieck spaces: the landscape and perspectives, Japanese Journal of Mathematics 16, 247–313 (2021).