Rotacja lub wirowość – operator różniczkowy w teorii pola, który działając na pole wektorowe tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Oznaczana jest przez
lub
(z ang. rotacja), czasami również zapisywana jako
[1].
Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe ma potencjał (i odwrotnie: pole dla którego nie można określić potencjału jest polem wirowym).
Rotację definiuje się jako iloczyn wektorowy operatora nabla
i wektora
![{\displaystyle \mathbf {B} =\operatorname {rot} (\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92c24e91e24e2f6492acf53b8c8ad05046110da6)
W sensie geometrii różniczkowej rotację pola wektorowego na trójwymiarowej rozmaitości zorientowanej z metryką definiuje się w sposób:
![{\displaystyle d(G\circ F)=i_{\operatorname {rot} (F)}\Omega ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93fa9c9581f633ec97f340222b741d0e082dd8c9)
gdzie:
![{\displaystyle (G\circ F)=g(F,\bullet ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/054b4fb871562472df243877c78d3af6252ca1d7)
– tensor metryczny,
– zwężenie formy objętości
z rot(F).
Rotacja w układzie współrzędnych kartezjańskich
W kartezjańskim układzie współrzędnych
mamy więc
![{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[.5em]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{bmatrix}}\times F={\begin{bmatrix}{\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\\[.5em]{\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b49a2cb123bd67e2d6549952b018514e2bde5310)
- Notacja macierzowa
W notacji macierzowej rotację otrzymujemy jako wyznacznik macierzy:
![{\displaystyle {\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42abfeddfbe69c7d3bcb399c606ebac688473c78)
gdzie
są wersorami osi
układu współrzędnych.
Całość rozpisujemy w następujący sposób:
![{\displaystyle \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68c65183a1ca81ab03ae44cf902e3ef345b927f1)
Rotacja w innych układach współrzędnych
W układzie współrzędnych walcowych[2]:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (\rho ,\varphi ,z)=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{\rho }+\left({\frac {\partial F_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial \rho }}\right)\mathbf {e} _{\varphi }+\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \rho F_{\varphi }}{\partial \rho }}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial F_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {e} _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ea321428c58e22d050983e9c13c45ac19bbebe2)
W układzie współrzędnych sferycznych[2]:
![{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\varphi ,\theta )=\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta F_{\varphi })-{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \varphi }}\right)\right]\mathbf {e} _{r}+\left[{\frac {1}{r}}{\frac {\partial (rF_{\theta })}{\partial r}}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \theta }}\right]\mathbf {e} _{\varphi }+\left[{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial F_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rF_{\varphi })\right)\right]\mathbf {e} _{\theta }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cec8bd5482879bf4e0082eb8e95bf161084e2d03)
Notacja Einsteina
W notacji Einsteina, z użyciem symbolu Leviego-Civity, jest zapisywana jako:
![{\displaystyle \nabla \times {\vec {F}}={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}\varepsilon ^{ijk}({\frac {\partial F_{j}}{\partial \xi ^{i}}}-{\Gamma ^{\ell }}_{ij}F_{\ell }){\vec {e}}_{k}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b7b8f5b5c7ef8a71f813c6ad9936951f3413c12)
Własności rotacji
Oznaczając przez
pola wektorowe, przez
pole skalarne dla
zachodzą następujące własności:
![{\displaystyle \nabla \times (a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\nabla \times \mathbf {F} +b\nabla \times \mathbf {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2deff494cdb4653517fcc6f1be2f3e94ad304b9)
- rotacja gradientu jest zerowa
![{\displaystyle \nabla \times \nabla f=\mathbf {0} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/561f431f6a1ff6e8937b0e8d027605d282ff0d38)
- rotacja z pola wektorowego, które jest iloczynem pola skalarnego i wektorowego:
![{\displaystyle \nabla \times (f\mathbf {F} )=\nabla f\times \mathbf {F} +f\nabla \times \mathbf {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d72719352357c7f20094d965e00ab789c59a629)
- rotacja z iloczynu wektorowego dwóch pól wektorowych:
![{\displaystyle \nabla \times (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )=(\mathbf {G} \cdot \nabla )\mathbf {F} -(\mathbf {F} \cdot \nabla )\mathbf {G} +\mathbf {F} (\nabla \cdot \mathbf {G} )-\mathbf {G} (\nabla \cdot \mathbf {F} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fe5da312b9399ec60261f1b45d35319ea4facab)
- rotacja z rotacji pola wektorowego
![{\displaystyle F{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f66220e0c5ed1421d35ea668aa3028bf0deb40e)
![{\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\Delta \mathbf {F} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72610f79656953b0b434a50269a720033a4de156)
- każde pole o zerowej rotacji
można przedstawić jako gradient pola skalarnego (istnieje takie pole skalarne V, że
); zob. twierdzenie Helmholtza.
Przypisy
- ↑ rotacja, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
- ↑ a b I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew: Matematyka. Poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIX. Warszawa: PWN, 2002, s. 676–677. ISBN 83-01-11658-7.
Linki zewnętrzne
Curl (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].