Test Kołmogorowa-Smirnowa
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/cf/KS_Example.png/220px-KS_Example.png)
Test Kołmogorowa-Smirnowa – test nieparametryczny używany do porównywania rozkładów jednowymiarowych cech statystycznych. Istnieją dwie główne wersje tego testu – dla jednej próby i dla dwóch prób.
Test dla jednej próby (zwany też testem zgodności λ Kołmogorowa) sprawdza, czy rozkład w populacji dla pewnej zmiennej losowej różni się od założonego rozkładu teoretycznego, gdy znana jest jedynie pewna skończona liczba obserwacji tej zmiennej (próba statystyczna). Często wykorzystywany jest on w celu sprawdzenia, czy zmienna ma rozkład normalny. Dla celów testowania normalności zostały dokonane w teście drobne usprawnienia, znane jako test Lillieforsa.
Istnieje też wersja testu dla dwóch prób, pozwalająca na porównanie rozkładów dwóch zmiennych losowych. Jego zaletą jest wrażliwość zarówno na różnice w położeniu, jak i w kształcie dystrybuanty empirycznej porównywanych próbek.
Statystyka Kołmogorowa-Smirnowa
Dystrybuanta empiryczna dla n-elementowej próby jest zdefiniowana jako funkcja:
gdzie:
- to wartość zmiennej dla -tej obserwacji.
- to funkcja charakterystyczna (tu: przyjmująca wartość jeden gdy i zero w przeciwnym wypadku).
Statystyka Kołmogorowa-Smirnowa dla danej dystrybuanty teoretycznej jest dana wzorem:
Na mocy twierdzenia Gliwienki-Cantellego, jeśli próba pochodzi z rozkładu o dystrybuancie to dąży prawie wszędzie do zera. Kołmogorow wzmocnił ten wynik stwarzając efektywną metodę oceny tej zbieżności (zobacz niżej). Twierdzenie Donskera dostarcza jednak jeszcze silniejszego wyniku.
Rozkład Kołmogorowa
Rozkład Kołmogorowa to rozkład zmiennej losowej
gdzie jest mostem Browna. Dystrybuanta jest dana przez
Test dla jednej próby
W warunkach hipotezy zerowej, gdy próba pochodzi z rozkładu teoretycznego wówczas:
(zbieżność według rozkładu), gdzie jest mostem Browna.
Jeśli jest ciągła, wówczas w warunkach hipotezy zerowej dąży do rozkładu Kołmogorowa, niezależnie od Ten wynik znany jest też jako twierdzenie Kołmogorowa.
Test Kołmogorowa-Smirnowa jest konstruowany z użyciem obszaru krytycznego rozkładu Kołmogorowa.
Hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie jeśli
gdzie jest dane przez:
Asymptotyczna moc tego testu wynosi 1. Jeśli forma lub parametry są wyznaczane z nierówność może nie być prawdziwa. W tym przypadku konieczne jest zastosowanie metody Monte Carlo lub innych algorytmów.
Bardziej znaną formą tego testu jest:
Test dla dwóch prób
Test Kołmogorowa-Smirnowa może być także użyty do sprawdzenia, czy dwa jednowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa różnią się od siebie. W takim przypadku statystyką Kołmogorowa-Smirnowa jest:
a hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie gdy
Przedział ufności dla kształtu dystrybuanty
Chociaż test Kołmogorowa-Smirnowa jest zwykle używany do sprawdzania, czy dana dystrybuanta teoretyczna opisuje rozkład populacji, z której wylosowano próbę o dystrybuancie empirycznej jednak procedura może być odwrócona w celu uzyskania przedziału ufności dla samej funkcji Wybierając wartość krytyczną dla statystyki testowej taką, że uzyskujemy pas o promieniu wokół który całkowicie zawiera z prawdopodobieństwem
Zobacz też
- Andriej Kołmogorow
- statystyka nieparametryczna
- test Andersona-Darlinga
- test Jarque-Bera
- test Kuipera
- test Lillieforsa
- test Shapiro-Wilka
Bibliografia
- W.T. Eadie, D. Drijard, F.E. James, M. Roos, B. Sadoulet: Statistical Methods in Experimental Physics. Amsterdam: North-Holland, 1971, s. 269–271.
- Alan Stuart, Keith Ord, Steven Arnold: Kendall’s Advanced Theory of Statistics. T. 2A. London: Arnold, a member of the Hodder Headline Group, 1999, s. 25.37–25.43.
Linki zewnętrzne
- Krótkie wprowadzenie (ang.)
- Wyjaśnienie testu K-S (ang.)
- Implementacja testów dla jednej i dwóch prób w JavaScripcie (ang.)
- Kalkulator online z testem K-S (ang.)
- Catalana: 0063141