Test Kołmogorowa-Smirnowa

Test Kołmogorowa-Smirnowa – test nieparametryczny używany do porównywania rozkładów jednowymiarowych cech statystycznych. Istnieją dwie główne wersje tego testu – dla jednej próby i dla dwóch prób.

Test dla jednej próby (zwany też testem zgodności λ Kołmogorowa) sprawdza, czy rozkład w populacji dla pewnej zmiennej losowej różni się od założonego rozkładu teoretycznego, gdy znana jest jedynie pewna skończona liczba obserwacji tej zmiennej (próba statystyczna). Często wykorzystywany jest on w celu sprawdzenia, czy zmienna ma rozkład normalny. Dla celów testowania normalności zostały dokonane w teście drobne usprawnienia, znane jako test Lillieforsa.

Istnieje też wersja testu dla dwóch prób, pozwalająca na porównanie rozkładów dwóch zmiennych losowych. Jego zaletą jest wrażliwość zarówno na różnice w położeniu, jak i w kształcie dystrybuanty empirycznej porównywanych próbek.

Dystrybuanta empiryczna ${\displaystyle F_{n}}$ dla n-elementowej próby jest zdefiniowana jako funkcja:

${\displaystyle F_{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}I_{X_{i}\leqslant x},}$

gdzie:

• ${\displaystyle X_{i}}$ to wartość zmiennej ${\displaystyle X}$ dla ${\displaystyle i}$-tej obserwacji.
• ${\displaystyle I_{X_{i}\leqslant x}}$ to funkcja charakterystyczna (tu: przyjmująca wartość jeden gdy ${\displaystyle X_{i}\leqslant x}$ i zero w przeciwnym wypadku).

Statystyka Kołmogorowa-Smirnowa dla danej dystrybuanty teoretycznej ${\displaystyle F(x)}$ jest dana wzorem:

${\displaystyle D_{n}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F(x)|.}$

Na mocy twierdzenia Gliwienki-Cantellego, jeśli próba pochodzi z rozkładu o dystrybuancie ${\displaystyle F(x),}$ to ${\displaystyle D_{n}}$ dąży prawie wszędzie do zera. Kołmogorow wzmocnił ten wynik stwarzając efektywną metodę oceny tej zbieżności (zobacz niżej). Twierdzenie Donskera dostarcza jednak jeszcze silniejszego wyniku.

Rozkład Kołmogorowa to rozkład zmiennej losowej

${\displaystyle K=\sup _{t\in [0,1]}|B(t)|,}$

gdzie ${\displaystyle B(t)}$ jest mostem Browna. Dystrybuanta ${\displaystyle K}$ jest dana przez

${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leqslant x)=1-2\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i-1}e^{-2i^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {2\pi }}{x}}\sum _{i=1}^{\infty }e^{-(2i-1)^{2}\pi ^{2}/(8x^{2})}.}$

W warunkach hipotezy zerowej, gdy próba pochodzi z rozkładu teoretycznego ${\displaystyle F(x),}$ wówczas:

${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}{\xrightarrow {n\to \infty }}\sup _{t}|B(F(t))|}$

(zbieżność według rozkładu), gdzie ${\displaystyle B(t)}$ jest mostem Browna.

Jeśli ${\displaystyle F}$ jest ciągła, wówczas w warunkach hipotezy zerowej ${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}}$ dąży do rozkładu Kołmogorowa, niezależnie od ${\displaystyle F.}$ Ten wynik znany jest też jako twierdzenie Kołmogorowa.

Test Kołmogorowa-Smirnowa jest konstruowany z użyciem obszaru krytycznego rozkładu Kołmogorowa.

Hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie ${\displaystyle \alpha ,}$ jeśli

${\displaystyle {\sqrt {n}}D_{n}>K_{\alpha },}$

gdzie ${\displaystyle K_{\alpha }}$ jest dane przez:

${\displaystyle \operatorname {Pr} (K\leqslant K_{\alpha })=1-\alpha .}$

Asymptotyczna moc tego testu wynosi 1. Jeśli forma lub parametry ${\displaystyle F(x)}$ są wyznaczane z ${\displaystyle X_{i},}$ nierówność może nie być prawdziwa. W tym przypadku konieczne jest zastosowanie metody Monte Carlo lub innych algorytmów.

Bardziej znaną formą tego testu jest:

${\displaystyle D_{n}>{\frac {K_{\alpha }}{\sqrt {n}}}.}$

Test Kołmogorowa-Smirnowa może być także użyty do sprawdzenia, czy dwa jednowymiarowe rozkłady prawdopodobieństwa różnią się od siebie. W takim przypadku statystyką Kołmogorowa-Smirnowa jest:

${\displaystyle D_{n,n'}=\sup _{x}|F_{n}(x)-F_{n'}(x)|,}$

a hipoteza zerowa jest odrzucana na poziomie ${\displaystyle \alpha ,}$ gdy

${\displaystyle {\sqrt {\frac {nn'}{n+n'}}}D_{n,n'}>K_{\alpha }.}$

Chociaż test Kołmogorowa-Smirnowa jest zwykle używany do sprawdzania, czy dana dystrybuanta teoretyczna ${\displaystyle F(x)}$ opisuje rozkład populacji, z której wylosowano próbę o dystrybuancie empirycznej ${\displaystyle F_{n}(x),}$ jednak procedura może być odwrócona w celu uzyskania przedziału ufności dla samej funkcji ${\displaystyle F(x).}$ Wybierając wartość krytyczną dla statystyki testowej ${\displaystyle D_{\alpha }}$ taką, że ${\displaystyle P(D_{n}>D_{\alpha })=\alpha ,}$ uzyskujemy pas o promieniu ${\displaystyle D_{\alpha }}$ wokół ${\displaystyle F_{n}(x),}$ który całkowicie zawiera ${\displaystyle F(x)}$ z prawdopodobieństwem ${\displaystyle 1-\alpha .}$

• Andriej Kołmogorow
• statystyka nieparametryczna
• test Andersona-Darlinga
• test Jarque-Bera
• test Kuipera
• test Lillieforsa
• test Shapiro-Wilka

• W.T. Eadie, D. Drijard, F.E. James, M. Roos, B. Sadoulet: Statistical Methods in Experimental Physics. Amsterdam: North-Holland, 1971, s. 269–271.
• Alan Stuart, Keith Ord, Steven Arnold: Kendall’s Advanced Theory of Statistics. T. 2A. London: Arnold, a member of the Hodder Headline Group, 1999, s. 25.37–25.43.

• Krótkie wprowadzenie (ang.)
• Wyjaśnienie testu K-S (ang.)
• Implementacja testów dla jednej i dwóch prób w JavaScripcie (ang.)
• Kalkulator online z testem K-S (ang.)