Twierdzenie Castigliano

Twierdzenie Castigliano, nazwane od twórcy - Carla Alberta Castigliano, jest metodą określania przemieszczeń układu liniowo-sprężystego w oparciu o pochodną cząstkową energii sprężystości. Są dwie postaci twierdzenia Castigliano:

• pierwsza postać, pozwalająca określić siły układu brzmi następująco:

Jeżeli energia sprężystości materiału liniowo-sprężystego może być wyrażona jako funkcja przemieszczeń q_i, wtedy pochodna cząstkowa tej energii względem przemieszczeń jest równa siłom Q_i zaczepionym w punktach przemieszczeń.

W formie równania,

${\displaystyle Q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial q_{i}}}}$

gdzie U jest energią odkształceń;

• druga postać, pozwalająca określić przemieszczenia układu:

Jeżeli energia naprężeń materiału liniowo-sprężystego jest wyrażana jako funkcja sił Q_i, wtedy pochodna cząstkowa tej energii względem tych sił jest równa przemieszczeniom q_i na kierunkach sił Q_i w punktach ich zaczepienia.

W postaci wzoru:

${\displaystyle q_{i}={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial Q_{i}}}.}$

Weźmy wspornik obciążony siłą P na końcu. Przemieszczenie ${\displaystyle \delta }$ można obliczyć w oparciu o drugą postać twierdzenia Castigliano:

${\displaystyle \delta ={\frac {\partial \mathbf {U} }{\partial P}}}$

${\displaystyle \delta ={\frac {\partial }{\partial P}}\int _{0}^{L}{{\frac {M^{2}}{2EI}}dl}}$

gdzie E jest modułem Younga, a I momentem bezwładności przekroju wspornika, wtedy:

${\displaystyle \delta =\int _{0}^{L}{{\frac {Pl^{2}}{EI}}dl}={\frac {PL^{3}}{3EI}}}$

W wyniku otrzymujemy wzór na ugięcie krańca wspornika obciążonego siłą skupioną na końcu.

• Stephen P. Timoshenko and J.N. Goodier, Theory of Elasticity, McGraw Hill 1970 3rd edition. pp 254 - 258.,
• Alexander Blake, Practival Stress Analysis ib Engineering Design Marcel Dekker Inc, 1990. ISBN 0-8247-8152-X
• Joseph Shigley, Mechanical Engineering Design, McGraw Hill 1983. ISBN 0-07-056888-X pp 135 - 139.
• Stephen P. Timoshenko, History of Strength of Materials, Dover 1983. pp 288 - 293
• Castigliano, Carlo Aberto, Théorie de l'équilibre des systèmes élastiques et ses applications. Nero, Turin 1879