Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABCPrzypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC
Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku[1]. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.
Treść
Dany jest trójkąt oraz punkty Jeżeli trzy proste i przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to[1][2]:
Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych może leżeć poza trójkątem.
Dowód
Przyjmijmy, że:
Wtedy:
oraz
Z tego wynika, że
Analogicznie:
Zatem:
Po skróceniu otrzymujemy:
ale
więc:
Twierdzenie odwrotne
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste i nie są równoległe[3]. Załóżmy, że punkty i spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta nie jest równoległa do prostej Niech i przecinają się w i niech przecina w Z udowodnionej przed chwilą implikacji,
Z porównania dwóch ostatnich równań jest
Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości zachodzi
A więc czyli i pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej o początku w ). A więc i przecinają się w
Zastosowania
Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)
Niech oznaczają punkty czworościanu leżące odpowiednio wewnątrz odcinków Załóżmy, że płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:
Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej jak i które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.
Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość
to płaszczyzny przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.
Zobacz też
twierdzenie Menelaosa
wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy
twierdzenie van Aubela
Przypisy
↑ abS. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 13.
↑S. I. Zetel: Geometria trójkąta. PWSZ, 1964, s. 12.
↑Henryk Pawłowski: Zadania z olimpiad matematycznych z całego świata. Trygonometria i geometria. Toruń: Oficyna Wydawnicza „Tutor”, 2003, s. 252–253. ISBN 83-86007-63-X.