Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych
![]() | Ten artykuł dotyczy twierdzenia o liczbach pierwszych. Zobacz też: inne twierdzenia o tej samej nazwie. |
Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych – twierdzenie teorii liczb, które orzeka, że w każdym ciągu arytmetycznym postaci występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych pod warunkiem, że (zapis oznacza największy wspólny dzielnik liczb i ). Dokładnie, twierdzenie to mówi, że gęstość naturalna liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym w stosunku do wszystkich liczb pierwszych wynosi gdzie oznacza tocjent Eulera.
Treść twierdzenia
Niech będzie funkcją zliczającą liczby pierwsze Wówczas prawdziwa jest równość[1]
przy czym oznacza logarytm naturalny z Treść twierdzenia Dirichleta jest silniejsza od twierdzenia o liczbach pierwszych, które, dla porównania, oznajmia, że
Dowody
Oryginalny dowód twierdzenia Dirichlet przeprowadził w oparciu o analizę miejsc zerowych L-funkcji[2].
W 1948 r. Atle Selberg przedstawił w Annals of Mathematics dowód elementarny[3], oparty o swój wcześniejszy elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych[4], oba bazujące na zależności
(gdzie suma jest wyłącznie po liczbach pierwszych ). Selberg w swoim rozumowaniu wykorzystuje funkcję przyjmującą niezerowe wartości dla mających 1 lub 2 dzielniki pierwsze oraz równą 0 dla wszystkich o dzielnikach pierwszych, ponadto definiuje wagi takie, że
W 1950 r. Harold N. Shapiro opublikował dowód oparty również na powyższej zależności asymptotycznej, korzystający jedynie z elementarnych przekształceń, charakterów Dirichleta i własności L-funkcji, niewymagający definiowania dodatkowych funkcji ani znajomości analizy zespolonej[5].
Silniejsze wyniki
Rozbieżność szeregu odwrotności
W oparciu o rozumowanie Shapiro można wykazać zależność[1]
dla pewnej stałej zależnej od i która implikuje rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych a to pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia Dirichleta. Implikacja odwrotna nie jest trywialna i nie musiałaby być prawdziwa (tak jak np. istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych, ale suma szeregu ich odwrotności jest skończona).
Twierdzenie Siegela-Walfisza
Osobny artykuł: Twierdzenie Siegela-Walfisza.
Twierdzenie Siegela-Walfisza[6] dostarcza dokładniejszego opisu ilościowego funkcji Dokładnie twierdzenie to oznajmia, że jeśli jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to istnieje stała taka, że jeśli to dla wszystkich takich, że zachodzi
Uogólniona hipoteza Riemanna
Osobny artykuł: Hipoteza Riemanna.
Przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać[7], że błąd w szacowaniu spełnia zależność
Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa
Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa opisuje zachowanie błędu w szacowaniu uśrednionego dla wielu ciągów arytmetycznych.
Jeśli oraz są dowolnymi stałymi, a spełnia nierówności
to prawdziwa jest zależność[7]
Twierdzenie to jest znaczącym wynikiem udowodnionym z wykorzystaniem teorii sit i często może stanowić substytut dla uogólnionej hipotezy Riemanna w dowodach innych twierdzeń[8][9].
Przypisy
- ↑ a b Tom M.T.M. Apostol Tom M.T.M., Introduction to Analytic Number Theory, „Undergraduate Texts in Mathematics”, 1976, DOI: 10.1007/978-1-4757-5579-4, ISSN 0172-6056 [dostęp 2023-08-11] .
- ↑ Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält, Cambridge University Press, 14 czerwca 2012, s. 313–342, DOI: 10.1017/cbo9781139237338.023 [dostęp 2023-08-11] .
- ↑ AtleA. Selberg AtleA., An Elementary Proof of Dirichlet’s Theorem About Primes in an Arithmetic Progression, „The Annals of Mathematics”, 50 (2), 1949, s. 297, DOI: 10.2307/1969454, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969454 [dostęp 2023-08-12] .
- ↑ AtleA. Selberg AtleA., An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem, „The Annals of Mathematics”, 50 (2), 1949, s. 305, DOI: 10.2307/1969455, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969455 [dostęp 2023-08-12] .
- ↑ Harold N.H.N. Shapiro Harold N.H.N., On Primes in Arithmetic Progressions (II), „The Annals of Mathematics”, 52 (1), 1950, s. 231, DOI: 10.2307/1969521, ISSN 0003-486X, JSTOR: 1969521 [dostęp 2023-08-11] .
- ↑ Walfisz, Arnold (1936). „Zur additiven Zahlentheorie. II” [On additive number theory. II]. Mathematische Zeitschrift (niem.). 40 (1): 592–607. doi:10.1007/BF01218882. MR 1545584.
- ↑ a b M.R.M.R. Murty M.R.M.R., K.L.K.L. Petersen K.L.K.L., A Bombieri-Vinogradov theorem for all number fields, „Transactions of the American Mathematical Society”, Vol. 365, wrzesień 2013, JSTOR: 23513087 [dostęp 2023-08-12] .
- ↑ J.J. Friedlander J.J., H.H. Iwaniec H.H., Opera de Cribro, American Mathematical Society, 2010, s. xiv (ang.).
- ↑ A.C.A.C. Cojocaru A.C.A.C., M.R.M.R. Murty M.R.M.R., An Introduction to Sieve Methods and Their Applications, Cambridge University Press, 2005, s. 156 (ang.).
- Britannica: topic/Dirichlets-theorem