Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych

Ten artykuł dotyczy twierdzenia o liczbach pierwszych. Zobacz też: inne twierdzenia o tej samej nazwie.

Twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w postępach arytmetycznych – twierdzenie teorii liczb, które orzeka, że w każdym ciągu arytmetycznym postaci ${\displaystyle a+qn}$ ${\displaystyle (n=0,1,2,\dots )}$ występuje nieskończenie wiele liczb pierwszych pod warunkiem, że ${\displaystyle (a,q)=1}$ (zapis ${\displaystyle (x,y)}$ oznacza największy wspólny dzielnik liczb ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$). Dokładnie, twierdzenie to mówi, że gęstość naturalna liczb pierwszych w ciągu arytmetycznym ${\displaystyle a+qn}$ w stosunku do wszystkich liczb pierwszych wynosi ${\displaystyle \varphi (q)^{-1},}$ gdzie ${\displaystyle \varphi }$ oznacza tocjent Eulera.

Niech ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ będzie funkcją zliczającą liczby pierwsze ${\displaystyle p\leqslant x,}$ ${\displaystyle p\equiv a({\text{mod }}{q})}$ Wówczas prawdziwa jest równość^[1]

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;q,a)\log x}{x}}={\frac {1}{\varphi (q)}},}$

przy czym ${\displaystyle \log x}$ oznacza logarytm naturalny z ${\displaystyle x.}$ Treść twierdzenia Dirichleta jest silniejsza od twierdzenia o liczbach pierwszych, które, dla porównania, oznajmia, że

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)\log x}{x}}=1.}$

Oryginalny dowód twierdzenia Dirichlet przeprowadził w oparciu o analizę miejsc zerowych L-funkcji^[2].

W 1948 r. Atle Selberg przedstawił w Annals of Mathematics dowód elementarny^[3], oparty o swój wcześniejszy elementarny dowód twierdzenia o liczbach pierwszych^[4], oba bazujące na zależności

${\displaystyle \sum _{p\leqslant x}{\frac {\log p}{p}}=\log x+O(1)}$

(gdzie suma jest wyłącznie po liczbach pierwszych ${\displaystyle p\leqslant x}$). Selberg w swoim rozumowaniu wykorzystuje funkcję ${\displaystyle \theta (n),}$ przyjmującą niezerowe wartości dla ${\displaystyle n}$ mających 1 lub 2 dzielniki pierwsze oraz równą 0 dla wszystkich ${\displaystyle n}$ o ${\displaystyle \geqslant 3}$ dzielnikach pierwszych, ponadto definiuje wagi ${\displaystyle \lambda _{d},}$ takie, że

${\displaystyle \theta (n)=\sum _{d|n}\lambda _{d}.}$

W 1950 r. Harold N. Shapiro opublikował dowód oparty również na powyższej zależności asymptotycznej, korzystający jedynie z elementarnych przekształceń, charakterów Dirichleta i własności L-funkcji, niewymagający definiowania dodatkowych funkcji ani znajomości analizy zespolonej^[5].

W oparciu o rozumowanie Shapiro można wykazać zależność^[1]

${\displaystyle \sum _{\begin{array}{c}p\leqslant x\\p\equiv a({\text{mod }}{q})\end{array}}{\frac {1}{p}}={\frac {1}{\varphi (q)}}\log \log x+A+O\left({\frac {1}{\log x}}\right)}$

dla pewnej stałej ${\displaystyle A}$ zależnej od ${\displaystyle a}$ i ${\displaystyle q,}$ która implikuje rozbieżność szeregu odwrotności liczb pierwszych ${\textstyle p\equiv a({\text{mod }}{q}),}$ a to pociąga za sobą prawdziwość twierdzenia Dirichleta. Implikacja odwrotna nie jest trywialna i nie musiałaby być prawdziwa (tak jak np. istnieje nieskończenie wiele kwadratów liczb naturalnych, ale suma szeregu ich odwrotności jest skończona).

 Osobny artykuł: Twierdzenie Siegela-Walfisza.

Twierdzenie Siegela-Walfisza^[6] dostarcza dokładniejszego opisu ilościowego funkcji ${\displaystyle \pi (x;q,a).}$ Dokładnie twierdzenie to oznajmia, że jeśli ${\displaystyle N}$ jest dowolnie wybraną liczbą rzeczywistą, to istnieje stała ${\displaystyle C_{N}}$ taka, że jeśli ${\displaystyle (a,q)=1,}$ to dla wszystkich ${\displaystyle x}$ takich, że ${\displaystyle q\leqslant (\log x)^{N}}$ zachodzi

${\displaystyle \pi (x;q,a)={\frac {{\text{Li}}(x)}{\varphi (q)}}+O\left({\frac {x}{\exp \left({\frac {C_{N}}{2}}{\sqrt {\log x}}\right)}}\right).}$

 Osobny artykuł: Hipoteza Riemanna.

Przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Riemanna można wykazać^[7], że błąd w szacowaniu ${\displaystyle \pi (x;q,a)}$ spełnia zależność

${\displaystyle \left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\varphi (q)}}\right|=O({\sqrt {x}}\log(qx)).}$

Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa opisuje zachowanie błędu w szacowaniu ${\displaystyle \pi (x;q,a),}$ uśrednionego dla wielu ciągów arytmetycznych.

Jeśli ${\displaystyle A>0}$ oraz ${\displaystyle Q>0}$ są dowolnymi stałymi, a ${\displaystyle x}$ spełnia nierówności

${\displaystyle {\frac {\sqrt {x}}{(\log x)^{A}}}\leqslant Q\leqslant {\sqrt {x}},}$

to prawdziwa jest zależność^[7]

${\displaystyle \sum _{q\leqslant Q}\max _{(a,q)=1}\max _{y\leqslant x}\left|\pi (y;q,a)-{\frac {\pi (y)}{\varphi (q)}}\right|=O\left({\frac {x}{(\log x)^{A}}}\right).}$

Twierdzenie to jest znaczącym wynikiem udowodnionym z wykorzystaniem teorii sit i często może stanowić substytut dla uogólnionej hipotezy Riemanna w dowodach innych twierdzeń^[8][9].