Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki – w teorii przemiennych algebr Banacha twierdzenie charakteryzujące funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych, przemiennych algebrach Banacha z jedynką. Twierdzenie udowodnione niezależnie przez Gleasona[1] oraz Kahane i Żelazkę[2].

Wprowadzenie

Niech A {\displaystyle A} będzie algebrą Banacha z jedynką 1. {\displaystyle 1.} Niech G L ( A ) {\displaystyle GL(A)} oznacza grupę elementów odwracalnych w A {\displaystyle A} oraz niech f ∈ A ∗ {\displaystyle f\in A^{*}} będzie niezerowym funkcjonałem liniowo-multiplikatywnym na A . {\displaystyle A.} Wówczas

  • f ( 1 ) = 1. {\displaystyle f(1)=1.} Rzeczywiście, f ( 1 ) = f ( 1 ⋅ 1 ) = f ( 1 ) ⋅ f ( 1 ) . {\displaystyle f(1)=f(1\cdot 1)=f(1)\cdot f(1).} Oznacza to, że f ( 1 ) {\displaystyle f(1)} jest skalarem równym swojemu kwadratowi, czyli f ( 1 ) = 0 {\displaystyle f(1)=0} lub f ( 1 ) = 1. {\displaystyle f(1)=1.} Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, ponieważ f {\displaystyle f} jest niezerowym funkcjonałem, a f ( a ) = f ( 1 ) f ( a ) {\displaystyle f(a)=f(1)f(a)} dla każdego a ∈ A , {\displaystyle a\in A,} skąd f ( 1 ) = 1. {\displaystyle f(1)=1.}
  • Dla każdego a ∈ G L ( A ) {\displaystyle a\in GL(A)} wartość f ( a ) {\displaystyle f(a)} jest niezerowa. Rzeczywiście, 1 = f ( 1 ) = f ( a ) ⋅ f ( a − 1 ) . {\displaystyle 1=f(1)=f(a)\cdot f(a^{-1}).}

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki gwarantuje, że te dwie własności charakteryzują funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych przemiennych algebrach Banacha z jedynką.

Twierdzenie

Niech A {\displaystyle A} będzie zespoloną, przemienną algebrą Banacha z jedynką 1 {\displaystyle 1} oraz niech f ∈ A ∗ {\displaystyle f\in A^{*}} będzie ograniczonym, niezerowym funkcjonałem liniowym. Wówczas f {\displaystyle f} jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy

  • f ( 1 ) = 1 , {\displaystyle f(1)=1,}
  • f ( a ) ≠ 0 {\displaystyle f(a)\neq 0} dla każdego a ∈ G L ( A ) . {\displaystyle a\in GL(A).}

Innymi słowy f {\displaystyle f} jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a ∈ A {\displaystyle a\in A} wartość f ( a ) {\displaystyle f(a)} należy do σ ( a ) , {\displaystyle \sigma (a),} tj. widma elementu a . {\displaystyle a.}

Przypisy

  1. ↑ A. M. Gleason, A characterization of maximal ideals, J. d’Anal. Math., 19 (1967), 171–172.
  2. ↑ J.-P. Kahane, W. Żelazko, A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras, Studia Math., 29 (1968) 339–343.

Bibliografia

  • E. Kaniuth, A Course in Commutative Banach Algebras Grad. Texts in Math., vol. 246, Springer, New York (2009), s. 45.