Twierdzenie Hahna-Banacha
Twierdzenie Hahna-Banacha – podstawowe twierdzenie analizy funkcjonalnej sformułowane i udowodnione niezależnie przez Hansa Hahna i Stefana Banacha w latach 20. XX wieku.
Twierdzenie to mówi o możliwości rozszerzenia ograniczonych funkcjonałów liniowych z podprzestrzeni przestrzeni unormowanej na całą przestrzeń, a także o bogatej strukturze przestrzeni sprzężonej.
Twierdzenie
Niech
- (a) będzie przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych
- (b) będzie funkcjonałem podaddytywnym i dodatnio jednorodnym, tzn.
- dla wszystkich
- dla wszystkich i
- (c) będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni
- (d) będzie takim odwzorowaniem liniowym, że
- dla wszystkich
Wówczas istnieje taki funkcjonał liniowy że
dla wszystkich oraz
dla wszelkich
Uwagi o dowodzie
- Zwykle dowód twierdzenia Hahna-Banacha jest budowany przy użyciu lematu Kuratowskiego-Zorna, choć niektórzy autorzy podają dowody indukcyjne (dowody podane przez Hahna w 1927 i Banacha w 1929 roku były właśnie indukcyjne).
- Przy pomocy twierdzenia Hahna-Banacha można udowodnić paradoks Banacha-Tarskiego[1], więc każdy dowód twierdzenia Hahna-Banacha wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru.
- Aksjomat o wyborach zależnych wystarczy dla dowodu twierdzenia Hahna-Banacha dla przestrzeni ośrodkowych. Twierdzenie o rozszerzaniu filtrów do ultrafiltrów wystarczy do udowodnienia twierdzenia Hanha-Banacha w pełnej ogólności, ale to ostatnie twierdzenie nie implikuje, że każdy filtr jest zawarty w filtrze maksymalnym.
Wnioski
![]() | Ten artykuł należy dopracować: Zasugerowano, aby sekcja Twierdzenie z artykułu Twierdzenie o oddzielaniu została zintegrowana z tym artykułem lub sekcją. (dyskusja). Dokładniejsze informacje o tym, co należy poprawić, być może znajdują się w dyskusji tego artykułu. Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
- Jeżeli jest rzeczywistą przestrzenią liniową, a funkcjonał spełnia warunek (b), to dla każdego istnieje taki funkcjonał liniowy że oraz dla
- Załóżmy, że
- (a) jest przestrzenią liniową nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych, a jest półnormą
- (b) jest podprzestrzenią liniową, oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że
- dla wszystkich
- Wówczas istnieje funkcjonał liniowy taki, że oraz
- dla wszystkich
- Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że
- oraz
- Twierdzenie o wydobywaniu normy: Jeśli jest niezdegenerowaną przestrzenią unormowaną oraz to dla pewnego takiego, że Ponadto
- Jeśli jest przestrzenią unormowaną, jest jej domkniętą podprzestrzenią liniową oraz to istnieje taki, że
- oraz
- Twierdzenia o oddzielaniu.
- Stosując twierdzenie Hahna-Banacha, można udowodnić istnienie granicy Banacha i funkcjonału Banacha.
Modyfikacje twierdzenia Hahna-Banacha
Idea przedłużania odwzorowań z podprzestrzeni na całą przestrzeń z zachowaniem pewnych szczególnych własności, zawarta w twierdzeniu Hahna-Banacha, została przeniesiona także na inne przypadki przestrzeni czy odwzorowań. Na przykład:
Twierdzenie Krejna
Niech będzie stożkiem wypukłym w rzeczywistej przestrzeni liniowo-topologicznej o niepustym wnętrzu. Jeżeli jest podprzestrzenią liniową przestrzeni oraz jest funkcjonałem liniowym takim, że
to istnieje funkcjonał liniowy taki, że
oraz
Zobacz też
- twierdzenie Krejna-Milmana
- twierdzenie o rozszerzaniu miary
Przypisy
- ↑ Janusz Pawlikowski, The Hahn-Banach theorem implies the Banach-Tarski paradox. „Fundamenta Mathematicae” 138 (1991).
Bibliografia
- William Arveson, The Noncommutative Hahn-Banach theorems, [1].
- Mark Aronovich Naimark, Normed Rings, Wolters-Noordhoff, Groningen 1970, s. 63.
- Gerd Wittstock, Ein operatorwertiger Hahn-Banach Satz, J. Funct. Anal. 40 (1981), s. 127–150.