Twierdzenie Linnika

Twierdzenie Linnika jest twierdzeniem z zakresu analitycznej teorii liczb odpowiadającym na pytanie dotyczące wielkości najmniejszej liczby pierwszej w danym ciągu arytmetycznym. Jest ono wnioskiem z rozważań skupionych wokół twierdzenia Dirichleta. Twierdzenie po raz pierwszy zostało udowodnione przez Jurija Linnika[1].

Treść twierdzenia

Jeśli p ( a , q ) {\displaystyle p(a,q)} oznacza najmniejszą liczbę pierwszą w ciągu arytmetycznym a + n q {\displaystyle a+nq} ( n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle n=0,1,2,\ldots } ), to

p ( a , q ) = O ( q L ) . {\displaystyle p(a,q)=O(q^{L}).}

Liczba L {\displaystyle L} jest nazywana stałą Linnika.

Stała Linnika

Obecnie najlepszym znanym wynikiem jest L = 5 {\displaystyle L=5} [2]. Prawdziwość twierdzenia przy L = 2 {\displaystyle L=2} pozostaje problemem otwartym.

Przypisy

  1. ↑ Linnik, Yu. V. (1944). "On the least prime in an arithmetic progression I. The basic theorem". Rec. Math. (Mat. Sbornik). Nouvelle Série. 15 (57): 139–178. MR 0012111.
  2. ↑ TriantafyllosT. Xylouris TriantafyllosT., On the least prime in an arithmetic progression and estimates for the zeros of Dirichlet L-functions, „Acta Arithmetica”, 150 (1), 2011, s. 65–91, DOI: 10.4064/aa150-1-4, ISSN 0065-1036 [dostęp 2023-09-02] .