| Ten artykuł od 2012-11 wymaga zweryfikowania podanych informacji. Należy podać wiarygodne źródła w formie przypisów bibliograficznych. Część lub nawet wszystkie informacje w artykule mogą być nieprawdziwe. Jako pozbawione źródeł mogą zostać zakwestionowane i usunięte. Sprawdź w źródłach: Encyklopedia PWN • Google Books • Google Scholar • Federacja Bibliotek Cyfrowych • BazHum • BazTech • RCIN • Internet Archive (texts / inlibrary) Po wyeliminowaniu niedoskonałości należy usunąć szablon {{Dopracować}} z tego artykułu. |
![](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/72/Disambig.svg/25px-Disambig.svg.png) | Ten artykuł dotyczy analizy funkcjonalnej. Zobacz też: inne twierdzenia Riesza. |
Twierdzenie Riesza – twierdzenie analizy funkcjonalnej noszące nazwisko Frigyesa Riesza, które opisuje strukturę przestrzeni sprzężonej topologicznie do danej przestrzeni Hilberta w daleko bardziej satysfakcjonujący sposób niż ogólniejsze twierdzenie Hahna-Banacha (obowiązujące dla przestrzeni Banacha). Wśród jego nazw spotyka się oprócz nazwiska Riesza również nazwisko Maurice’a Frécheta oraz nazwy opisowe np. „o reprezentacji (funkcjonału)”, czasami również z zastrzeżeniem „w przestrzeniach Hilberta”.
Stanowi ono odwrócenie następującej obserwacji, iż dla dowolnie wybranego elementu
ustalonej przestrzeni Hilberta odwzorowanie dane wzorem
jest (ciągłym) funkcjonałem liniowym, tj. każdy funkcjonał liniowy można przedstawić w tej postaci. Ponadto zapewnia ono o równoważności struktur unitarnych (m.in. izomorficzności jako przestrzeni liniowych oraz izometryczności jako przestrzeni unormowanych; zob. przekształcenie unitarne) przestrzeni Hilberta oraz przestrzeni sprzężonej do niej.
Twierdzenie
Niech
będzie przestrzenią Hilberta z iloczynem skalarnym
zaś
będzie przestrzenią sprzężoną do
Wówczas dla każdego funkcjonału liniowego
istnieje[1] jeden i tylko jeden element
spełniający dla wszystkich
tożsamość
![{\displaystyle y^{*}(x)=\langle x,y\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3514c1056d7dbffb26305f24c2048df2d0a3b26)
Ponadto odwzorowanie
dane wzorem
jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem antyliniowym zachowującym normę; jeśli
określona jest nad ciałem liczb rzeczywistych (a nie liczb zespolonych), to wspomniane odwzorowanie jest przekształceniem liniowym zachowującym normę (tzn. jest izometrią liniową, a nie antyliniową).
Dowód
- W dalszej części
oznaczać będzie funkcjonał zerowy, czyli dany wzorem
dla każdego ![{\displaystyle x\in H.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e31b7d8bb14010c0925a8f0cf8e4a56d51b0c2ee)
Jeżeli
jest skończonego wymiaru, to istnienie odpowiedniego
dla
wynika z jednoznaczności, gdyż iniektywne przekształcenie
dane wzorem
jest wtedy suriekcją, a zatem jest izomorfizmem liniowym w przypadku rzeczywistym (zob. dowód) i antyliniowym w przypadku zespolonym (zob. Antyliniowość niżej); w przeciwnym przypadku dla ogólnej przestrzeni liniowej
jest
ograniczenie przestrzeni sprzężonej do ciągłych funkcjonałów liniowych sprawia jednak, że
na podstawie izomorfizmu
skonstruowanego niżej.
- Istnienie
- Dla
wystarczy wziąć
i wtedy
dla każdego
niech więc
wtedy
jest właściwą podprzestrzenią
Ponieważ
jest ciągły, to zbiór
jest domknięty[2][3]. Z twierdzenia o rzucie ortogonalnym wynika, że ![{\displaystyle H=\ker y^{*}\oplus (\ker y^{*})^{\perp },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/942efe75975e2a2f95141955887a23d9b68ffe70)
- a skoro
to
a zatem można znaleźć taki element
dla którego
Ponieważ
to dla każdego
zachodzi ![{\displaystyle y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x\in \ker y^{*},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9fd83da187bcafa9f31262fd8cc075674f938f6)
- gdyż na mocy liniowości funkcjonału
dlatego ![{\displaystyle 0={\big \langle }y^{*}(x)\ z-y^{*}(z)\ x,z{\big \rangle }=y^{*}(x)\langle z,z\rangle -y^{*}(z)\langle x,z\rangle =y^{*}(x)-y^{*}(z)\langle x,z\rangle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a821772dab0abaec85ec105d5d767721e1eac7)
- a stąd
![{\displaystyle y^{*}(x)=\left\langle x,{\overline {y^{*}(z)}}\ z\right\rangle ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da3f75480f4b65f9a8e8be69e20f32280287c39c)
- aby teza twierdzenia była spełniona, wystarczy przyjąć
gdzie
oznacza sprzężenie zespolone skalara ![{\displaystyle w.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d358cd6be4381ccfa44bd5702785437956d6e23f)
- Jednoznaczność
- Niech
będą dwoma elementami, które dla każdego
spełniają ![{\displaystyle y^{*}(x)=\langle x,y_{1}\rangle =\langle x,y_{2}\rangle ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5682a4ef942523a0170b1a028153288a1c26d68c)
- wówczas, z liniowości,
dla każdego
biorąc
otrzymuje się
co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy
czyli ![{\displaystyle y_{1}=y_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d0763bd0050d91077ed486701462020c05d0f9b3)
- Izometryczność
- Iloczyn skalarny jest ciągły ze względu na pierwszą zmienną; zatem funkcjonał liniowy dany wzorem
jest ciągły, a zatem ograniczony (z charakteryzacji ograniczonych operatorów liniowych). Z nierówności Cauchy’ego-Schwarza wynika wtedy, że ![{\displaystyle {\big \|}y^{*}(x){\big \|}={\big \|}\langle x,y\rangle {\big \|}\leqslant \|x\|\|y\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/844a05aa348e1d1da8d36eb2305dbfcb1f1988b1)
- a więc
![{\displaystyle {\big \|}y^{*}{\big \|}=\sup _{\|x\|=1}\;{\big \|}y^{*}(x){\big \|}\leqslant \|y\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7db3ac34d0feb1ca5a511f9c46e4bcb0d5e894f6)
- Jeżeli
to
czyli
w przeciwnym przypadku dla
otrzymuje się ![{\displaystyle {\big \|}y^{*}(z){\big \|}={\Big \|}\left\langle {\tfrac {y}{\|y\|}},y\right\rangle {\Big \|}={\frac {1}{\|y\|}}\langle y,y\rangle ={\frac {\|y\|^{2}}{\|y\|}}=\|y\|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dfece7228928d1057481a516b844043c06db1fc)
- co daje
![{\displaystyle \|y^{*}\|=\|y\|.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64770962c00adae4088c12f075385cad7eb82609)
- Antyliniowość
- Antyliniowość odwzorowania
wynika wprost z własności iloczynu skalarnego, który jest antyliniowy ze względu na drugą współrzędną: ![{\displaystyle (cy_{1}+dy_{2})^{*}(x)=\langle x,cy_{1}+dy_{2}\rangle ={\overline {c}}\langle x,y_{1}\rangle +{\overline {d}}\langle x,y_{2}\rangle ={\overline {c}}\ y_{1}^{*}(x)+{\overline {d}}\ y_{2}^{*}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0245f53339f47a6f8281fe5562c485dd7e3fa065)
- Jeżeli
jest rzeczywista, to iloczyn skalarny jest dwuliniowy, a nie półtoraliniowy; w tym przypadku wystarczy w powyższych równościach pominąć sprzężenie zespolone (oznaczane kreską nad elementem).
Zobacz też
Przypisy
- ↑ John B. Conway: A Course in Functional Analysis. Springer, 2007, s. 13.
- ↑ Z definicji ciągłości (przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte; zatem z dualności analogiczne stwierdzenie dotyczy zbiorów domkniętych) wynika, że
jest domknięty jako przeciwobraz zbioru jednoelementowego (przestrzenie Hilberta są Hausdorffa, które są przestrzeniami
). - ↑ Stwierdzenie to można również dowieść, korzystając z ogólniejszego twierdzenia dla przestrzeni unitarnych i ograniczonych operatorów liniowych (w przestrzeniach Hilberta, które są unitarne, ciągłe operatory liniowe są równoważne ograniczonym). Twierdzenie: Niech
będą przestrzeniami unitarnymi,
będzie ograniczonym operatorem liniowym, zaś
oznacza ciąg elementów
Wówczas
pociąga
a jądro
jest zbiorem domkniętym. Dowód: Pierwsza część twierdzenia wynika z oszacowania
Jeżeli
to (z charakteryzacji domknięcia w przestrzeniach metrycznych) można wybrać ciąg
elementów
zbieżny do
skoro
i ponieważ
dla wszystkich
to również
co oznacza